丟番圖逼近的相關(guān)介紹

丟番 圖 逼近理論建基于劉維爾關(guān)于代數(shù)數(shù)逼近的定理，該定理簡(jiǎn)述如下：
定理 . 設(shè)無(wú)理數(shù) α 是個(gè)整系數(shù) n 次多項(xiàng)式的根，則存在常數(shù) A > 0，使得對(duì)任意兩整數(shù) p,q > 0 恒有
如右上角圖
劉維爾定理可用以直接構(gòu)造超越數(shù)。在這之前，數(shù)學(xué)家們已藉連分?jǐn)?shù)導(dǎo)出關(guān)于平方根與其它二次無(wú)理數(shù)的許多逼近性質(zhì)。這個(gè)結(jié)果后來(lái)由 Axel Thue 等人改進(jìn)，并導(dǎo)致 Roth 定理：將劉維爾定理中的指數(shù) n 由代數(shù)數(shù)的次數(shù)縮減到任意的 2+ε（其中 ε>0）；之后 Schmidt 將此推廣到同步逼近。這些證明頗困難，而且不能得到明確的上界，這在應(yīng)用上是一大缺憾。 在 Ro th 定理以后，丟番圖逼近的主要進(jìn)展與超越理論相關(guān)。均勻分布關(guān)乎分布的不規(guī)則性，因而帶有組合學(xué)的本性。丟番圖逼近中仍有陳述簡(jiǎn)單卻懸而未解的問(wèn)題，例如勒特伍德猜想。