圓冪定理全部?jī)?nèi)容和使用

圓冪定理 圓冪的定義:
一點(diǎn)P對(duì)半徑R的圓O的冪定義如下：OP^2-R^2
所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù),圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù),圓上的點(diǎn)的冪為零.
圓冪定理是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們推論的統(tǒng)稱.
相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.
切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).
割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PA·PB=PC·PD.
統(tǒng)一歸納：過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2,L1與圓交于A、B（可重合,即切線）,L2與圓交于C、D（可重合）,則有PA·PB=PC·PD.
進(jìn)一步升華（推論）：
過(guò)任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過(guò)圓心的直線L2,L1與圓交于A、B（可重合,即切線）,L2與圓交于C、D.則PA·PB=PC·PD.若圓半徑為r,則PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （一定要加絕對(duì)值,原因見(jiàn)下）為定值.這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪.（事實(shí)上所有的過(guò)P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值）
若點(diǎn)P在圓內(nèi),類似可得定值為r^2-PO^2=|PO^2-r^2|
故平面陸族上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕對(duì)值.（這就是“圓冪”的由來(lái)）
[編輯本段]證明
圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)稱為圓冪定理）
相交弦定理：相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的乘積相等.
證明：連結(jié)AC,BD,由圓周角定理的推論,得∠A＝∠D,∠C＝∠B.
∴△PAC∽△PDB,∴PA∶PD＝PC∶PB,PA·PB＝PC·PD
割線定理：割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PA·PB=PC·PD,當(dāng)PA=PB,即直線AB重合,即PA切線是得到切線定理PA^2=PC*PD
證明：（令A(yù)在P.B之間,C在P.D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形,所以角CAB+角CDB=180度,又角CAB+角PAC=180度,所以角PAC=角CDB,又角APC公共,所以三角形APC與三角形DPB相似,所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD
切割線定理：切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)
幾何語(yǔ)言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T,PBA是⊙O的割線
∴PT2=PA·PB（切割線定理）
推論 從圓外一點(diǎn)因圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等
幾何語(yǔ)言：∵PBA、PDC是⊙O的割線
∴pd·pc=PA·PB（切割線定理推論）
問(wèn)題3：過(guò)點(diǎn) 任作直線交定圓于兩點(diǎn) 、 ,證明 為定值（圓冪定理）．
證：以 為原點(diǎn),設(shè)圓的方程為
①
過(guò) 的直線為
則 、 的橫坐標(biāo)是方程
的兩個(gè)根 、 ．由韋達(dá)定理
于是
圓①也可以寫成
①′
其中 為圓的半徑的平方．所說(shuō)的定值 也就是 （原點(diǎn)）與圓心 的距離的平方減去半徑的平方．當(dāng) 在圓外時(shí),這就是自 向圓所引切線（長(zhǎng)）的平方早賣弊．
這定值稱為點(diǎn) 到這圓的冪．
在上面證明的過(guò)程中,我們以 為原點(diǎn),這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)配肢化．
如果給定點(diǎn) ,未必是原點(diǎn),要求出 關(guān)于圓①的冪（即 ）,我們可以設(shè)直線 的方程為
②
③
是 的傾斜角,表示直線上的點(diǎn)與 的距離．
將②③代入①得
即
,是它的兩個(gè)根,所以由韋達(dá)定理
④
是定值
④是 關(guān)于①的冪（當(dāng) 是原點(diǎn)時(shí),這個(gè)值就是 ）．它也可以寫成
④′
即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方．
當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí),冪值是負(fù)值； 在圓上時(shí),冪為0； 在圓外時(shí),冪為正值,這時(shí)冪就是自 向圓所引切線長(zhǎng)的平方．
以上是圓冪定理的證明,下面看一看它的應(yīng)用．
問(wèn)題4：自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于 、 兩點(diǎn),又作切線 、 ,、 為切點(diǎn),與 相交于 ,如圖8．求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列,即
證：設(shè)圓的方程為
⑤
點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,的參數(shù)方程為
⑥
⑦
其中 是 的傾斜角,表示直線上的點(diǎn) 與 的距離．
⑥⑦代入⑤得
即
、 是它的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理
⑧
另一方面,直線 是圓的切點(diǎn)弦,利用前邊的結(jié)論,的方程為
⑦⑧代入得
因此,這個(gè)方程的根 滿足
⑨
綜合⑧⑨,結(jié)論成立．
可以證明,當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí),上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立．
說(shuō)明：?jiǎn)栴}4的解決借用了問(wèn)題3的方法,同時(shí)我們也看到了問(wèn)題4與問(wèn)題1、問(wèn)題2的內(nèi)在聯(lián)系．