七橋問題怎么解

七橋連線
這個問題看似簡單，然而許多人作過嘗試始終沒有能找到答案。因此，一群大學(xué)生就寫信給當(dāng)時年僅20歲的大數(shù)學(xué)家歐拉，請他分析一下。歐拉從千百人次的失敗中，以深邃的洞察力猜想，也許根本不可能不重復(fù)地一次走遍這七座橋。為了證明這種猜想是正確的，歐拉用簡單的幾何圖形來表示陸地和橋。他是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B、C、D?4個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，在說歐拉的推論前，我們先說說偶點和奇點的問題。
奇偶數(shù)點圖
什么是偶點呢？一個點如果有偶數(shù)條邊，它就是偶點。如下面“奇偶數(shù)點圖”的A、B、E、F點。反之，如果一個點有奇條邊數(shù)，它就是奇點。如圖中的C、D這兩點。
偶點和奇點與能不能一次通過這座橋有關(guān)系嗎？別急，我們慢慢來說。
歐拉認(rèn)為，如果一個圖能一筆畫成，那么一定有一個起點開始畫，也有一個終點。圖上其它的點是“過路點”——畫的時候要經(jīng)過它。
“過路點”有什么特點呢？它應(yīng)該是“有進(jìn)有出”的點，有一條邊進(jìn)這點，那么就要有一條邊出這點，不可能是有進(jìn)無出或有出無進(jìn)。如果只進(jìn)無出，它就是終點；如果有出無進(jìn)，它就是起點。因此，在“過路點”進(jìn)出的邊總數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)，即“過路點”是偶點。
如果起點和終點是同一點，那么它也是屬于“有進(jìn)有出”的點，因此必須是偶點，這樣圖上全體點都是偶點。
如果起點和終點不是同一點，那么它們必須是奇點，因此這個圖最多只能有二個奇點。
把上面所說的歸納起來，說簡單點就是：
能一筆畫的圖形只有兩類：一類是所有的點都是偶點。另一類是只有二個奇點的圖形。
現(xiàn)在對照七橋問題的圖，我們回過頭來看看圖3，A、B、C、D四點都連著三條邊，是奇數(shù)邊，并且共有四個，所以這個圖肯定不能一筆畫成。
歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓?fù)鋵W(xué)的研究提供了一個初等的例子。
事實上，中國民間很早就流傳著這種一筆畫的游戲，從長期實踐的經(jīng)驗，人們知道如果圖的點全部是偶點，可以任意選擇一個點做起點，一筆畫成。如果是有二個奇點的圖形，那么就選一個奇點做起點以順利的一筆畫完。要是不信的話，你可以試試上圖“奇偶數(shù)點圖”，選擇C、D兩個奇點來畫，肯定能一筆畫成。只是很可惜，長期以來，人們只把它作為一類有趣的游戲，沒有對它引起重視，也沒有數(shù)學(xué)家對它進(jìn)行經(jīng)驗總結(jié)和研究，這不能不說是一種遺憾。