劉徽的割圓術(shù)具體內(nèi)容是什么？

割圓術(shù)（cyclotomic method）
所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)去無(wú)限逼近圓周并以此求取圓周率的方法。這個(gè)方法，是劉徽在批判總結(jié)了數(shù)學(xué)史上各種舊的計(jì)算方法之后，經(jīng)過(guò)深思熟慮才創(chuàng)造出來(lái)的一種嶄新的方法。
中國(guó)古代從先秦時(shí)期開(kāi)始，一直是取“周三徑一”（即圓周周長(zhǎng)與直徑的比率為三比一）的數(shù)值來(lái)進(jìn)行有關(guān)圓的計(jì)算。但用這個(gè)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果，往往誤差很大。正如劉徽所說(shuō)，用“周三徑一”計(jì)算出來(lái)的圓周長(zhǎng)，實(shí)際上不是圓的周長(zhǎng)而是圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)，其數(shù)值要比實(shí)際的圓周長(zhǎng)小得多。東漢的張衡不滿足于這個(gè)結(jié)果，他從研究圓與它的外切正方形的關(guān)系著手得到圓周率。這個(gè)數(shù)值比“周三徑一”要好些，但劉徽認(rèn)為其計(jì)算出來(lái)的圓周長(zhǎng)必然要大于實(shí)際的圓周長(zhǎng)，也不精確。劉徽以極限思想為指導(dǎo)，提出用“割圓術(shù)”來(lái)求圓周率，既大膽創(chuàng)新，又嚴(yán)密論證，從而為圓周率的計(jì)算指出了一條科學(xué)的道路。
在劉徽看來(lái)，既然用“周三徑一”計(jì)算出來(lái)的圓周長(zhǎng)實(shí)際上是圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)，與圓周長(zhǎng)相差很多；那么我們可以在圓內(nèi)接正六邊形把圓周等分為六條弧的基礎(chǔ)上，再繼續(xù)等分，把每段弧再分割為二，做出一個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形，這個(gè)正十二邊形的周長(zhǎng)不就要比正六邊形的周長(zhǎng)更接近圓周了嗎？如果把圓周再繼續(xù)分割，做成一個(gè)圓內(nèi)接正二十四邊形，那么這個(gè)正二十四邊形的周長(zhǎng)必然又比正十二邊形的周長(zhǎng)更接近圓周。。這就表明，越是把圓周分割得細(xì)，誤差就越少，其內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)就越是接近圓周。如此不斷地分割下去，一直到圓周無(wú)法再分割為止，也就是到了圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限多的時(shí)候，它的周長(zhǎng)就與圓周“合體”而完全一致了。
按照這樣的思路，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率 為3.14和 3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值。這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確的數(shù)據(jù)。劉徽對(duì)自己創(chuàng)造的這個(gè)“割圓術(shù)”新方法非常自信，把它推廣到有關(guān)圓形計(jì)算的各個(gè)方面，從而使?jié)h代以來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展大大向前推進(jìn)了一步。以后到了南北朝時(shí)期，祖沖之在劉徽的這一基礎(chǔ)上繼續(xù)努力，終于使圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)以后的第七位。在西方，這個(gè)成績(jī)是由法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)于1593年取得的,比祖沖之要晚了一千一百多年。祖沖之還求得了圓周率的兩個(gè)分?jǐn)?shù)值，一個(gè)是“約率” ，另一個(gè)是“密率”.，其中 這個(gè)值，在西方是由德國(guó)的奧托和荷蘭的安東尼茲在16世紀(jì)末才得到的，都比祖沖之晚了一千一百年。劉徽所創(chuàng)立的“割圓術(shù)”新方法對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的重大貢獻(xiàn)，歷史是永遠(yuǎn)不會(huì)忘記的。
利用圓內(nèi)接或外切正多邊形，求圓周率近似值的方法，其原理是當(dāng)正多邊形的邊數(shù)增加時(shí)，它的邊長(zhǎng)和逐漸逼近圓周。早在公元前5世紀(jì)，古希臘學(xué)者安蒂豐為了研究化圓為方問(wèn)題就設(shè)計(jì)一種方法：先作一個(gè)圓內(nèi)接正四邊形，以此為基礎(chǔ)作一個(gè)圓內(nèi)接正八邊形，再逐次加倍其邊數(shù)，得到正16邊形、正32邊形等等，直至正多邊形的邊長(zhǎng)小到恰與它們各自所在的圓周部分重合，他認(rèn)為就可以完成化圓為方問(wèn)題。到公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德在《論球和閱柱》一書(shū)中利用窮竭法建立起這樣的命題：只要邊數(shù)足夠多，圓外切正多邊形的面積與內(nèi)接正多邊形的面積之差可以任意小。阿基米德又在《圓的度量》一書(shū)中利用正多邊形割圓的方法得到圓周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十 ，還說(shuō)圓面積與夕卜切正方形面積之比為11：14，即取圓周率等于22/7。公元263年，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說(shuō)，他從圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始，每次把邊數(shù)加倍，直至圓內(nèi)接正96邊形，算得圓周率為3.14或157/50，后人稱之為徽率。書(shū)中還記載了圓周率更精確的值3927/1250（等于3.1416）。劉徽斷言“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”。其思想與古希臘窮竭法不謀而合。割圓術(shù)在圓周率計(jì)算史上曾長(zhǎng)期使用。1610年德國(guó)數(shù)學(xué)家柯倫用2^62邊形將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后35位。1630年格林貝爾格利用改進(jìn)的方法計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后39位，成為割圓術(shù)計(jì)算圓周率的最好結(jié)果。分析方法發(fā)明后逐漸取代了割圓術(shù)，但割圓術(shù)作為計(jì)算圓周率最早的科學(xué)方法一直為人們所稱道。