高中奧數(shù)題（數(shù)論）

設(shè)這個(gè)連續(xù)的十個(gè)自然數(shù)列為:K=(a,a+1,a+2。。。。。。a+9)！

設(shè)：
a>11,且能被自然數(shù)x整除.

那么K/x=[a/x,(a+1)/x,(a+2)/x.......(a+9)/x]
=a/x,(a/x+1/x),(a/x+2/x)......(a/x+9/x)

∵a被x整除，顯然x為任何數(shù)，K/x都出現(xiàn)非整數(shù)。
∴K存在質(zhì)數(shù)。

∵a>11
∴K中的質(zhì)數(shù)在十個(gè)連續(xù)自然數(shù)內(nèi)不可能出現(xiàn)自身的倍數(shù)。
即K中的質(zhì)數(shù)必與其他九個(gè)數(shù)互質(zhì)。

設(shè)：
a<=11
7和11是質(zhì)數(shù)，命題顯然成立。

若a不能被x整除，則證明a自身為質(zhì)數(shù)，命題依然成立！
∴任意十個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中，至少有一個(gè)與其余九個(gè)互質(zhì)！