行程問題
一條雙向鐵路上有11個(gè)車站,相臨的兩站都相距7千米,從早晨7點(diǎn)開始,有18列貨車由第11站順次發(fā)出,每隔5分一列,都駛向第1站,速度都是每小時(shí)60千米.早晨8點(diǎn),由第1站發(fā)一列客車,向第11站駛出,時(shí)速100千米,,在到達(dá)終點(diǎn)前,貨車與客車都不??咳魏我徽荆畣枺涸谀膬蓚€(gè)相臨站之間,客車能與3列貨車 先后相遇?
1個(gè)回答
.【解】每5分鐘發(fā)出一列貨車,貨車速度為每小時(shí)60千米,即每分鐘1千米.所以每兩列相繼的貨車相距5千米
第1列貨車行了1小時(shí),客車才出發(fā),所以兩車之間距離為7×(11-1)-60×1=10(千米),
兩車經(jīng) (小時(shí))
相遇,距第一站 (千米)
由于每兩列相繼貨車相距5千米,所以客車遇到一列貨車后,再行 (千米),
便遇到下一列貨車。
如果A、B是兩個(gè)相鄰的車站,那么當(dāng)客車在這兩站之間遇到3列貨車時(shí),與第1列貨車相遇的地點(diǎn)A點(diǎn)的距離應(yīng)不超過 7-×2=(千米).
反過來,在這條件滿足時(shí),客車在A、B之間與三列貨車相遇.
設(shè)客車遇到第n+1列貨車時(shí),在A、B兩個(gè)相鄰的車站之間,并且在這兩個(gè)車站之間又接連再遇到兩列貨車,那么客車行了 (千米)
并且與第m+1個(gè)站A的距離不超過千米,從而 -7m≤
即 25(n+2)-56m≤6(1)
(1)式表明25的某個(gè)倍數(shù),除以56后,余數(shù)≤6。
不難通過驗(yàn)算發(fā)現(xiàn)25×9=225=56×4+1,所以在第5個(gè)站與第6個(gè)站之間,客車遇到三列貨車。
接下去滿足(1)式的是 25×9×2=56×4×2+2
但這時(shí),n+1=9×2-1=17.客車遇到第n+1列貨車后,只能再與一列貨車相遇
所以本題的答案是:在第5個(gè)站與第6個(gè)站之間,客車與三列貨車相遇。
【注】如果本題貨車有19列或更多列,那么在第9個(gè)站與第10個(gè)站之間,客車也與三列貨車相遇。
第1列貨車行了1小時(shí),客車才出發(fā),所以兩車之間距離為7×(11-1)-60×1=10(千米),
兩車經(jīng) (小時(shí))
相遇,距第一站 (千米)
由于每兩列相繼貨車相距5千米,所以客車遇到一列貨車后,再行 (千米),
便遇到下一列貨車。
如果A、B是兩個(gè)相鄰的車站,那么當(dāng)客車在這兩站之間遇到3列貨車時(shí),與第1列貨車相遇的地點(diǎn)A點(diǎn)的距離應(yīng)不超過 7-×2=(千米).
反過來,在這條件滿足時(shí),客車在A、B之間與三列貨車相遇.
設(shè)客車遇到第n+1列貨車時(shí),在A、B兩個(gè)相鄰的車站之間,并且在這兩個(gè)車站之間又接連再遇到兩列貨車,那么客車行了 (千米)
并且與第m+1個(gè)站A的距離不超過千米,從而 -7m≤
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(1)式表明25的某個(gè)倍數(shù),除以56后,余數(shù)≤6。
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接下去滿足(1)式的是 25×9×2=56×4×2+2
但這時(shí),n+1=9×2-1=17.客車遇到第n+1列貨車后,只能再與一列貨車相遇
所以本題的答案是:在第5個(gè)站與第6個(gè)站之間,客車與三列貨車相遇。
【注】如果本題貨車有19列或更多列,那么在第9個(gè)站與第10個(gè)站之間,客車也與三列貨車相遇。
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