胡克定律

胡克定律
Hook's law
材料力學(xué)和彈性力學(xué)的基本規(guī)律之一。由R.胡克于1678年提出而得名。胡克定律的內(nèi)容為：在材料的線彈性范圍內(nèi)，固體的單向拉伸變形與所受的外力成正比；也可表述為：在應(yīng)力低于比例極限的情況下，固體中的應(yīng)力σ與應(yīng)變ε成正比，即σ＝Εε，式中E為常數(shù)，稱為彈性模量或楊氏模量。把胡克定律推廣應(yīng)用于三向應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)，則可得到廣義胡克定律。胡克定律為彈性力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。各向同性材料的廣義胡克定律有兩種常用的數(shù)學(xué)形式：
σ11＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε11，σ23＝2Gε23，
σ22＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε22，σ31＝2Gε31，(1)
σ33＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε33，σ12＝2Gε12，及

式中σij為應(yīng)力分量；εij為應(yīng)變分量（i，j＝1，2，3）；λ和G為拉梅常量，G又稱剪切模 量；E為彈性模量（或楊氏模量）；v為泊松比。λ、G、E和v之間存在下列聯(lián)系： 式（1）適用于已知應(yīng)變求應(yīng)力的問題，式（2）適用于已知應(yīng)力求應(yīng)變的問題。

根據(jù)無初始應(yīng)力的假設(shè)，（f 1）0應(yīng)為零。對于均勻材料，材料性質(zhì)與坐標(biāo)無關(guān)，因此函數(shù) f 1 對應(yīng)變的一階偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)。因此應(yīng)力應(yīng)變的一般關(guān)系表達(dá)式可以簡化為

上述關(guān)系式是胡克（Hooke）定律在復(fù)雜應(yīng)力條件下的推廣，因此又稱作廣義胡克定律。

廣義胡克定律中的系數(shù)Cmn（m，n=1，2，…，6）稱為彈性常數(shù)，一共有36個(gè)。
如果物體是非均勻材料構(gòu)成的，物體內(nèi)各點(diǎn)受力后將有不同的彈性效應(yīng)，因此一般的講，Cmn 是坐標(biāo)x，y，z的函數(shù)。
但是如果物體是由均勻材料構(gòu)成的，那么物體內(nèi)部各點(diǎn)，如果受同樣的應(yīng)力，將有相同的應(yīng)變；反之，物體內(nèi)各點(diǎn)如果有相同的應(yīng)變，必承受同樣的應(yīng)力。
這一條件反映在廣義胡克定理上，就是Cmn 為彈性常數(shù)。