《名畫》是什么？

前蘇聯(lián)著名科學(xué)家別萊利曼在他所著的《趣味代數(shù)學(xué)》中介紹了波格達(dá)諾夫·別列斯基的《名畫》，畫上那位老師拉金斯基是一位自然科學(xué)教授，放棄了大學(xué)教席來(lái)到農(nóng)村學(xué)校當(dāng)一名普通老師。

畫中，黑板上寫著一道式子：

十幾個(gè)學(xué)生，有的抓頭，有的搔腮，都在吟思，看來(lái)老師正讓大家心算這道題目，畫面緊湊生動(dòng)，寓意很深。

如果光憑心算來(lái)算這一題，是比較困難的，因?yàn)閿?shù)據(jù)比較大，算起來(lái)比較繁。但如果仔細(xì)一研究，10、11、12、13、14這幾個(gè)數(shù)目具有一種有趣的特性：

102+112+122=132+142，

而且

100+121+144=365。

所以，很容易算出畫里的算式應(yīng)等于2。

現(xiàn)在，把這個(gè)問題推廣一點(diǎn)：還有沒有其它這樣五個(gè)連續(xù)的整數(shù)，前三個(gè)的平方和正好等于后兩個(gè)的平方和呢？

設(shè)x為這五個(gè)連續(xù)整數(shù)的第二個(gè)數(shù)，（這樣設(shè)有方便之處，為什么？）依題意可列得方程：

（x-1）2+x2+（x+1）2=（x+2）2+（x+3）2。

去括號(hào)，化簡(jiǎn)，得

x2-10x-11=0。

解這個(gè)一元二次方程，得

x1=11，x2=-1。

所以，具有所要求性質(zhì)的數(shù)列有兩組：拉金斯基的那組是10，11，12，13，14；另一組是-2，-1，0，1，2。

事實(shí)上，

（-2）2+（-1）2+02=12+22。

如何把問題進(jìn)一步拓寬一點(diǎn)：有沒有這樣七個(gè)連續(xù)整數(shù)，前四個(gè)的平方和等于后三個(gè)的平方和？問題就是要解方程

（x-3）2+（x-2）2+（x-1）2+x2=（x+1）2+（x+2）2+（x+3）2。

不難得出這個(gè)方程的解是x1=24，x2=0。

讀者不難寫出類似的等式。