數(shù)學史上的未解之謎

歐拉方程Euler’s equation　　對無粘性流體微團應用牛頓第二定律得到的運動微
　　分方程。歐拉方程是無粘性流體動力學中最重要的基本
　　方程,應用十分廣泛。1755年,瑞士數(shù)學家L.歐拉在《流
　　體運動的一般原理》一書中首先提出這個方程。
　　在研究一些物理問題，如熱的傳導、圓膜的振動、電磁波的傳播等問題時，常常碰到如下形式的方程：
　?。╝x^2D^2+bxD+c）y=f(x),
　　其中a、b、c是常數(shù)，這是一個二階變系數(shù)線性微分方程。它的系數(shù)具有一定的規(guī)律：二階導數(shù)D^2y的系數(shù)是二次函數(shù)ax^2，一階導數(shù)Dy的系數(shù)是一次函數(shù)bx，y的系數(shù)是常數(shù)。這樣的方程稱為歐拉方程。
　　例如：(x^2D^2-xD+1)y=0,(x^2D^2-2xD+2)y=2x^3-x等都是歐拉方程。
　　化學中足球烯即C-60和此方程有關
　　證明過程：
　　利用級數(shù)。
　　exp(x)=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!＋(x^4)/4!+……
　　sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!＋……
　　cos(x)=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!-(x^6)/6!＋……
　　其中exp(x)=e^x
　　于是exp(ix)=1+ix-(x^2)/2!-i(x^3)/3!+(x^4)/4!＋i(x^5)/5!＋……
　　比較以上3式，就得出歐拉公式了 [編輯本段]泛函的歐拉方程(by zhengpin1390)　　(二)、泛函的歐拉方程
　　歐拉方程是泛函極值條件的微分表達式，求解泛函的歐拉方程，即可得到使泛函取極值的駐函數(shù)，將變分問題轉化為微分問題。
　?。?） 最簡單的歐拉方程：
　　設函數(shù)F(x,y,y') 是三個變量的連續(xù)函數(shù)，且點(x,y)位于有界閉區(qū)域B內，則對形如
　　
　　的變分，若其滿足以下條件：
　　c) 在有界閉區(qū)域B內存在某條特定曲線y。(x) ，使泛函取極值，且此曲線具有二階連續(xù)導數(shù)。
　　則函數(shù)y。(x) 滿足微分方程：
　　
　　上式即為泛函Q[y]的歐拉方程。
　?。?）含有自變函數(shù)高階倒數(shù)的泛函的歐拉方程
　　一般來說，對于下述泛函：
　　
　　在類似條件下，可以得到對應的歐拉方程為：
　　
　　（3）含有多個自變函數(shù)的泛函的歐拉方程
　　對于下述泛函：
　　
　　其歐拉方程組為：
　　
　?。?）多元函數(shù)的泛函及其歐拉方程
　　此處僅考慮二元函數(shù)的情況，對如下所示多元函數(shù)的泛函：