橢圓雙曲線所有公式！

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F、F'的距離的和等于常數(shù)2a(2a>|FF'|的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓。
即：│PF│+│PF'│=2a
其中兩定點(diǎn)F、F'叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離│FF'│叫做橢圓的焦距。
平面上到定點(diǎn)F距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合（定點(diǎn)F不在定直線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)）
其中定點(diǎn)F為橢圓的焦點(diǎn)，定直線稱為橢圓的準(zhǔn)線（該定直線的方程是X=a^2/c)。
橢圓的其他定義根據(jù)橢圓的一條重要性質(zhì)也就是橢圓上的點(diǎn)與橢圓短軸兩端點(diǎn)連線的斜率之積是定值可以得出：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的連線的斜率之積是常數(shù)k的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，此時(shí)k應(yīng)滿足一定的條件，也就是排除斜率不存在的情況
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種，取決于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸：
1）焦點(diǎn)在X軸時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
2）焦點(diǎn)在Y軸時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)
其中a>0，b>0。a、b中較大者為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，較短者為短半軸長(zhǎng)（橢圓有兩條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸被橢圓所截，有兩條線段，它們的一半分別叫橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸或半長(zhǎng)軸和半短軸）當(dāng)a>b時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2*(a^2-b^2)^0.5，焦距與長(zhǎng).短半軸的關(guān)系:b^2=a^2-c^2 ,準(zhǔn)線方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
又及：如果中心在原點(diǎn)，但焦點(diǎn)的位置不明確在X軸或Y軸時(shí)，方程可設(shè)為mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式。
橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數(shù)方程是：x=acosθ ， y=bsinθ
標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓在x0，y0點(diǎn)的切線就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1
橢圓的面積公式
S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸,短半軸的長(zhǎng)).
或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長(zhǎng)軸,短軸的長(zhǎng)).
橢圓的周長(zhǎng)公式
橢圓周長(zhǎng)沒(méi)有公式，有積分式或無(wú)限項(xiàng)展開(kāi)式。
橢圓周長(zhǎng)(L)的精確計(jì)算要用到積分或無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和。如
L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長(zhǎng)], 其中a為橢圓長(zhǎng)半軸,e為離心率
橢圓離心率的定義為橢圓上的點(diǎn)到某焦點(diǎn)的距離和該點(diǎn)到該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離之比，設(shè)橢圓上點(diǎn)P到某焦點(diǎn)距離為PF，到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離為PL，則
e=PF/PL
橢圓的準(zhǔn)線方程
x=±a^2/C
橢圓的離心率公式
e=c/a(e<1,因?yàn)?a>2c)
橢圓的焦準(zhǔn)距 ：橢圓的焦點(diǎn)與其相應(yīng)準(zhǔn)線(如焦點(diǎn)（c,0）與準(zhǔn)線x=+a^2/C)的距離,數(shù)值=b^2/c
橢圓焦半徑公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0
橢圓過(guò)右焦點(diǎn)的半徑r=a-ex
過(guò)左焦點(diǎn)的半徑r=a+ex
橢圓的通徑：過(guò)焦點(diǎn)的垂直于x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點(diǎn)A,B之間的距離，數(shù)值=2b^2/a
點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系 點(diǎn)M（x0，y0） 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1
點(diǎn)在圓內(nèi)： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1
點(diǎn)在圓上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
點(diǎn)在圓外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1
直線與橢圓位置關(guān)系
y=kx+m ①
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1
相切△=0
相離△＜0無(wú)交點(diǎn)
相交△＞0 可利用弦長(zhǎng)公式：A(x1,y1) B(x2,y2)
|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2
橢圓通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中，過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦）公式：2b^2/a
橢圓的斜率公式 過(guò)橢圓上x(chóng)^2/a^2+y^2/b^2=1上一點(diǎn)（x，y）的切線斜率為 -(b^2)X/(a^2)y
雙曲線： 數(shù)學(xué)上指一動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)于一個(gè)平面上，與平面上兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值始終為一定值2a(2a小于F1和F2之間的距離即2a<2c）時(shí)所成的軌跡叫做雙曲線(Hyperbola)。兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫做雙曲線的左，右焦點(diǎn)(focus)。兩焦點(diǎn)的距離叫焦距，長(zhǎng)度為2c。其中2a在坐標(biāo)軸上的端點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，c^2=a^2+b^2 (a=長(zhǎng)半軸，b=短半軸）
1.文字語(yǔ)言定義:
平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)。定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線,常數(shù)e是雙曲線的離心率。
2.集合語(yǔ)言定義:
設(shè) 雙曲線上有一動(dòng)點(diǎn)M,定點(diǎn)F,點(diǎn)M到定直線距離為d,
這時(shí)稱集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的點(diǎn)集是雙曲線.
注意:定點(diǎn)F要在定直線外 且 比值大于1.
3.標(biāo)準(zhǔn)方程
設(shè) 動(dòng)點(diǎn)M(x,y),定點(diǎn)F(c,0),點(diǎn)M到定直線l:x=a^2/c的距離為d,
則由 |MF|/d=e>1.
推導(dǎo)出的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
這是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.
而中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:
(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.
1、軌跡上一點(diǎn)的取值范圍：x≥a,x≤-a（焦點(diǎn)在x軸上）或者y≥a,y≤-a（焦點(diǎn)在y軸上）。
2、對(duì)稱性：關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱。
3、頂點(diǎn)：A(-a,0)， A’(a,0)。同時(shí) AA’叫做雙曲線的實(shí)軸且∣AA’│=2a.
B(0,-b)， B’(0,b)。同時(shí) BB’叫做雙曲線的虛軸且│BB’│=2b.
4、漸近線：
焦點(diǎn)在x軸：y=±(b/a)x.
焦點(diǎn)在y軸：y=±(a/b)x. 圓錐曲線ρ=ep/1-ecosθ當(dāng)e>1時(shí)，表示雙曲線。其中p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，θ為弦與X軸夾角
令1-ecosθ=0可以求出θ，這個(gè)就是漸近線的傾角。θ=arccos（1/e）
令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e
令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e
這兩個(gè)x是雙曲線定點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
求出他們的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（雙曲線中心橫坐標(biāo)）
x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
（注意化簡(jiǎn)一下）
直線ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
是雙曲線一條對(duì)稱軸，注意是不與曲線相交的對(duì)稱軸。
將這條直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)PI/2-arccos（1/e）角度后就得到漸近線方程，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角度是θ’
則θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
則θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
帶入上式：
ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
現(xiàn)在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
5、離心率：
第一定義： e=c/a 且e∈（1，+∞).
第二定義：雙曲線上的一點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離│PF│ 與 點(diǎn)P到定直線(相應(yīng)準(zhǔn)線)的距離d 的比等于雙曲線的離心率e.
d點(diǎn)（│PF│）/d線（點(diǎn)P到定直線(相應(yīng)準(zhǔn)線)的距離）=e
6、雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點(diǎn)P(x,y)到焦點(diǎn)距離）
右焦半徑：r=│ex-a│
左焦半徑：r=│ex+a│
7、等軸雙曲線
一雙曲線的實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)相等 即：2a=2b 且 e=√2
8、共軛雙曲線
雙曲線S’的實(shí)軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S’的虛軸是雙曲線S的實(shí)軸時(shí)，稱雙曲線S’與雙曲線S為共軛雙曲線。
幾何表達(dá)：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S’：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
特點(diǎn)：（1）共漸近線
（2）焦距相等
（3）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于1
9、準(zhǔn)線： 焦點(diǎn)在x軸上：x=±a^2/c
焦點(diǎn)在y軸上：y=±a^2/c
10、通徑長(zhǎng)：（圓錐曲線（除圓外）中，過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦）
d=2b^2/a
11、過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式：
d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，θ為弦與X軸夾角]
12、弦長(zhǎng)公式：
d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推導(dǎo)如下：
由 直線的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
分別代入兩點(diǎn)間的距離公式：|AB| = √[(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√(1 + k2) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k2)
[編輯本段]·雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)公式與反比例函數(shù)
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函數(shù)確實(shí)是雙曲線函數(shù)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的
因?yàn)閤y = c的對(duì)稱軸是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的對(duì)稱軸是x軸，y軸
所以應(yīng)該旋轉(zhuǎn)45度
設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為 a （a≠0,順時(shí)針）
(a為雙曲線漸進(jìn)線的傾斜角)
則有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
則
X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2
= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2
= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)
Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)
由此證得，反比例函數(shù)其實(shí)就是雙曲線函數(shù).只不過(guò)是雙曲線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的另一種擺放形式.