什么是柯西不等式

二維形式的證明
　　　(a^2+b^2)(c^2+d^2)?。╝,b,c,d∈R)
　　＝a^2·c^2
＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2
　?。絘^2·c^2
＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2
　?。?ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2
　　≥(ac＋bd)^2，等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立。
　　
一般形式的證明
　　
求證：
(∑ai^2)(∑bi^2)
≥
(∑ai·bi)^2
　　
證明：
　　當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立
　　令A(yù)=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2
　　當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個不為零時，可知A＞0
　　構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展開得：
　　f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑
(ai·x＋bi)^2≥0
　　故f(x)的判別式△＝4B^2－4AC≤0，
　　移項得AC≥B^2，欲證不等式已得證。
　　
向量形式的證明
　　
令m
＝(a1,
a2,
…,
an)，
n
＝(b1,
b2,
…,
bn)
　　
m
·
n
＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝|
m
||
n
|cos<
m,
n
>＝√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2)
×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2)
×cos<
m
,
n
>
　　∵cos<
m
,
n
>≤1
　　∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2)
×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2)
　　注：“√”表示平方根。
　　
注：以上僅是柯西不等式
部分形式的證明。
[編輯本段]【柯西不等式的應(yīng)用】　　柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學(xué)中應(yīng)給予極大的重視。
　　
巧拆常數(shù)證不等式
　　
例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且互不相等。
　　求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
∵a
、b
、c
均為正數(shù)
　　∴為證結(jié)論正確，只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
　　而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
　　又9=(1+1+1)^2
　　∴只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9
　　又a、b
、c互不相等，故等號成立條件無法滿足
　　∴原不等式成立
　　
求某些函數(shù)最值
　　
例：求函數(shù)y=3√(x－5)＋4√(9－x)的最大值。
　　注：“√”表示平方根。
　　
　　函數(shù)的定義域為[5,
9]，y＞0
　　y=3√(x－5)＋4√(9－x)
　　≤√(3^2＋4^2)×√{
[√(x－5)]
^2
＋
[√(9－x)]
^2
}
　?。?×2＝10
　　函數(shù)在且僅在4√(x－5)＝3√(9－x)，即x＝6.44時取到。
　　
以上只是柯西不等式的部分示例。更多示例請參考有關(guān)文獻(xiàn)。

(a二次方+b二次方)乘(c二次方+d二次方)大于等于(ac+bd)二次方…抱歉啊，手機(jī)上難以打出公式來…