極限的局部有界性怎么理解

函數(shù)的局部有界性是指函數(shù)在極限點(diǎn)的鄰域內(nèi)有界,而在整個(gè)定義域上并不一定有界. 數(shù)列其實(shí)可以看作是一個(gè)離散的函數(shù).但數(shù)列求極限是總是令N趨向于無(wú)窮大.而函數(shù)求極限則不然,因此數(shù)列的有界性是對(duì)于整個(gè)數(shù)列而言的.更直白的說(shuō),數(shù)列如果存在極限,那么它前面的有限項(xiàng)必然都是有限的數(shù),所以肯定有界,而后面的無(wú)限多項(xiàng)由于極限的存在性所以也一定有界的.但是函數(shù)不具有這樣的特性.

x→a時(shí)f(x)的極限存在，設(shè)為m,那么在a的充分小的鄰域內(nèi)，f(x)是有界的。事實(shí)上，存在δ，使得當(dāng)|x-a|<δ時(shí)|f(x)-m|<1,于是
-1m-1即結(jié)論成立。
對(duì)于數(shù)列極限也有類似的結(jié)論。