拉格朗日中值定理證明步驟
拉格朗日中值定理的證明思路 拉格朗日中值定理證明過程中的關鍵部分輔助函數(shù)的構造,求大俠指點下這一過程的思路!
1個回答
首先,由于點( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線方程是這樣的 y=[ (f(b)-f(a))/(b-a) ](x-a)+f(a)
所以構造函數(shù)成兩曲線距離d與x之間的關系即可:H(x)=f(x)-y (曲線減去直線)
由于兩條線的起點與終點均重合,所以必然符合羅爾定理的條件H(a)=H(b),然后馬上可以用羅爾定理證得.
思路:
1、拉格朗日中值定理其實就是羅爾定理的推廣(或者說一般情況),而柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的推廣(或者說特殊情況).
2、羅爾定理的條件f(a)=f(b)就意味著是點( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線平行于坐標軸的情況,然后求函數(shù)f(x)的極值點(等價于求f'(k)=0的點)屬于特殊情況.
而拉格朗日中值定理的情況是,羅爾定理的一般情況.( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線已經(jīng)跟x軸產(chǎn)生夾角了,所以構造函數(shù)的時候就要把它的坐標軸轉變一下.然后還是跟羅爾定理一樣,求出函數(shù)H(x)的極值點即可.
大家一起探討,不足之處請見諒.
所以構造函數(shù)成兩曲線距離d與x之間的關系即可:H(x)=f(x)-y (曲線減去直線)
由于兩條線的起點與終點均重合,所以必然符合羅爾定理的條件H(a)=H(b),然后馬上可以用羅爾定理證得.
思路:
1、拉格朗日中值定理其實就是羅爾定理的推廣(或者說一般情況),而柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的推廣(或者說特殊情況).
2、羅爾定理的條件f(a)=f(b)就意味著是點( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線平行于坐標軸的情況,然后求函數(shù)f(x)的極值點(等價于求f'(k)=0的點)屬于特殊情況.
而拉格朗日中值定理的情況是,羅爾定理的一般情況.( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線已經(jīng)跟x軸產(chǎn)生夾角了,所以構造函數(shù)的時候就要把它的坐標軸轉變一下.然后還是跟羅爾定理一樣,求出函數(shù)H(x)的極值點即可.
大家一起探討,不足之處請見諒.
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