f(x)是以2派為周期的二階可微函數(shù)，且f(x)+f'(x+派)=sinx，求f(x)

f(x)+f'(x+π)=sinx,①
求導得f'(x)+f''(x+π)=cosx,
以x+π代x,得f'(x+π)+f''(x+2π)=cos(x+π),
2π是f(x)的周期，
∴f'(x+π)+f''(x)=-cosx,②
②-①，得f''(x)-f(x)=-sinx-cosx,
y=c1e^x+c2e^(-x)是y''-y=0的通解，
y=(1/2)(sinx+cosx)是y''-y=-sinx-cosx的特解，
∴f(x)=c1e^x+c2e^(-x)+(1/2)(sinx+cosx).
因為f(x)以2π為周期，
所以f(x+2π)=f(x),
于是c1e^x*[e^(2π)-1]+c2e^(-x)*[e^(-2π)-1]=0恒成立，
所以c1=c2=0,
f(x)=(1/2)(sinx+cosx).
謝謝指正。

為什么以2派為周期，C1e^x+C2e^x等于0?求解答

第一個式子求導后加拍π