n個(gè)平面最多可將空間分成多少個(gè)部分

n 個(gè)平面最多可將空間分成多少個(gè)部分 問(wèn)題提出： 空間n 個(gè)平面最多可將空間分成多少個(gè)部分？ 問(wèn)題分析： 顯然，當(dāng)這n 個(gè)平面滿足以下條件時(shí)，所分割的部分?jǐn)?shù)是最多的。 1、 這n 個(gè)平面兩兩相交； 2、 沒(méi)有三個(gè)以上的平面交于一點(diǎn)； 3、 這n 個(gè)平面的交線任兩條都不平行。 對(duì)于一般情況一下子不易考慮，我們不妨試著從簡(jiǎn)單的，特殊的情況入手來(lái)尋找規(guī)律。設(shè)n個(gè) 平面分空間的部分?jǐn)?shù)為 n a ，易知 當(dāng) 1 n 時(shí)， 2 n a ； 當(dāng) 2 n 時(shí)， 4 n a 當(dāng) 3 n 時(shí)， 8 n a 當(dāng) 4 n 時(shí)，情況有些復(fù)雜，我們以一個(gè)四面體為模型來(lái)觀察，可知 15 n a ； 從以上幾種情況，很難找出一個(gè)一般性的規(guī)律，而且當(dāng) n 的值繼續(xù)增大時(shí)，情況更復(fù)雜，看來(lái)這樣不行。那么，我們把問(wèn)題在進(jìn)一步簡(jiǎn)單化，將空間問(wèn)題退化到平面問(wèn)題：n 條直線最多可將平面分割成多少個(gè)部分？（這n條 直線中，任兩條不平行，任三條不交于同一點(diǎn)），設(shè)n 條直線最多可將平面分割成 n b 個(gè)部分，那么 當(dāng) 3 , 2 , 1 n 時(shí)，易知平面最多被分為2，4，7 個(gè)部分。 當(dāng) k n 時(shí)，設(shè)k 條直線將平面分成了 k b 個(gè)部分，接著當(dāng)添加上第 1 k 條直線時(shí)，這條直線與前k 條直線相交有k 個(gè)交點(diǎn)，這k 個(gè)交點(diǎn)將第k 條直線分割成 n 段，而每一段將它所在的區(qū)域一分為二，從而增加了 1 k 個(gè)區(qū)域，故得遞推關(guān)系式 ) 1 ( 1 k b b k k ，即 1 1 k b b k k 顯然當(dāng) 1 k 時(shí), 2 1 b ,當(dāng) 1 , , 2 , 1 n k 時(shí)，我們得到 1 n 個(gè)式子： 2 1 2 b b 3 2 3 b b 4 3 4 b b …… n b b n n 1 將這 1 n 個(gè)式子相加，得 ) 2 ( 2 1 2 n n b n ，即 n 條直線最多可將平面分割成 ) 2 ( 2 1 2 n n 個(gè)部分。 我們來(lái)歸納一下解決這個(gè)問(wèn)題的思路：從簡(jiǎn)單情形入手，確定 k b 與 1 k b 的遞推關(guān)系，最后得出結(jié)論。 現(xiàn)在，我們回到原問(wèn)題，用剛才的思路來(lái)解決空間的問(wèn)題，設(shè)k 個(gè)平面將空間分割成 k a 個(gè)部分，再添加上第 1 k 個(gè)平面，這個(gè)平面與前k 個(gè)平面相交有k條交線，這k 條交線，任意三條不共點(diǎn)，任意兩條不平行，因此這第 1 k 個(gè)平面就被這k 條直線分割成 k b 個(gè)部分。 而這 k b 個(gè)部分平面中的每一個(gè)，都把它所通過(guò)的那一部分空間分割成兩個(gè)較小的空間。所以，添加上這第 1 k 個(gè)平面后就把原有的空間數(shù)增加了 k b 個(gè)部分。由此的遞推關(guān)系式 k k k b a a 1 ，即 k k k b a a 1 當(dāng) 1 , , 2 , 1 n k ，時(shí)，我們得到如下 1 n 個(gè)關(guān)系式 1 1 2 b a a 2 2 3 b a a …… 1 1 n n n b a a 將這 1 n 個(gè)式子相加，得 ) ( 1 2 1 1 n n b b b a a 因?yàn)?) 2 ( 2 1 2 n n b n ， 2 1 a 所以 n a ) 2 ( 2 1 ) 2 2 2 ( 2 1 ) 2 1 1 ( 2 1 2 2 2 2 n n =2+ ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 ( ) 1 ( 2 1 ( 2 1 2 2 2 n n n = n n n n n n ) 1 ( 2 1 ) 1 2 ( ) 1 ( 6 1 2 1 1 = ) 1 ( ) 1 ( 6 1 1 n n n n = 6 6 5 3 n n 問(wèn)題的解：由上述分析和推導(dǎo)可知，n 個(gè)平面最多可將平面分割成 ) 6 5 ( 6 1 3 n n 個(gè)部分。 鞏固練習(xí)： 1、①平面上3 條直線可將平面分成幾個(gè)區(qū)域？ ②空間3 個(gè)平面可將空間分成幾個(gè)部分？ ③空間5 個(gè)平面最多可將空間分成幾個(gè)部分？