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勾股定理，是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個(gè)定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。

在中國，周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

在平面上的一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方。如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)

a^2+b^2=c^2

勾股定理是余弦定理中的一個(gè)特例。

中國

公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。編寫于公元前一世紀(jì)以前的《周髀算經(jīng)》中記錄著商高與周公的一段對(duì)話。商高說：“……故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！币鉃椋寒?dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時(shí)，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說成“勾三股四弦五”，根據(jù)該典故稱勾股定理為商高定理。

公元三世紀(jì)，三國時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，記錄于《九章算術(shù)》中“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。?

在中國清朝末年，數(shù)學(xué)家華蘅芳提出了二十多種對(duì)于勾股定理證法。?

外國

遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。美國哥倫比亞大學(xué)圖書館內(nèi)收藏著一塊編號(hào)為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數(shù)。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測(cè)量尼羅河泛濫后的土地時(shí)，也應(yīng)用過勾股定理。

公元前六世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習(xí)慣地稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理。

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勾踐(?-前464年)，姒姓，本名鳩淺(越國與中原各國語言不同，音譯為勾踐)，會(huì)稽(今浙江省紹興市)人，《史記索隱》引《紀(jì)年》作菼執(zhí)，春秋時(shí)期越國君主(前496年-前464年)，春秋五霸之一。

公元前496年，越王勾踐即位。同年，在槜李大敗吳師。越王勾踐三年(公元前494年)，被吳軍敗于夫椒，被迫向吳求和。三年后被釋放回越國，返國后重用范蠡、文種， 臥薪嘗膽，使越國國力恢復(fù)。越王勾踐十五年(公元前482年)，吳王夫差興兵參加黃池之會(huì)，為彰顯武力率精銳而出。越王勾踐抓住機(jī)會(huì)率兵而起，大敗吳師，夫差不得已與越議和。越王勾踐十九年(公元前478年)，勾踐再度率軍攻打吳國，在笠澤之戰(zhàn)三戰(zhàn)三捷，大敗吳軍主力。越王勾踐二十四年(公元前473年)，破吳都，迫使夫差自盡，滅吳稱霸，成為春秋時(shí)期最后一位霸主。

因其"臥薪嘗膽"的典故，勾踐如今已經(jīng)成為中華民族不懼怕失敗與屈辱，敢于拼搏的楷模形象。

歷史評(píng)價(jià)

墨子:"昔者文公出走而正天下;桓公去國而霸諸侯;越王勾踐遇吳王之丑而尚攝中國之賢君。三子之能達(dá)名成功于天下也，皆于其國抑而大丑也。太上無敗，其次敗而有以成，此之謂用民。"

出自《史記·越王勾踐世家》:范蠡遂去，自齊遺大夫種書曰:飛鳥盡，良弓藏;狡兔死，走狗烹。越王為人長頸鳥喙，可與共患難，不可與共享樂。

司馬遷:①"禹之功大矣，漸九川，定九州，至于今諸夏艾安。及苗裔勾踐，苦身焦思，終滅強(qiáng)吳，北觀兵中國，以尊周室，號(hào)稱霸王。勾踐可不謂賢哉!蓋有禹之遺烈焉。"②"越祖少康，至于允常。其子始霸，與吳爭(zhēng)強(qiáng)。槜李之役，闔閭見傷。會(huì)稽之恥，勾踐欲當(dāng)。種誘以利，蠡悉其良。折節(jié)下士，致膽思嘗。卒復(fù)讎寇，遂殄大邦。"

王朗:"勾踐欲廣其御兒之疆，馘夫差于姑蘇，故亦約其身以及家，儉其家以施國，用能囊括五湖，席卷三江，取威中國，定霸華夏。"

勾股定理的證明方法手抄報(bào)如下：

勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。這個(gè)定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。

勾股定理（又稱商高定理，畢達(dá)哥拉斯定理）是一個(gè)基本的幾何定理，早在中國商代就由商高發(fā)現(xiàn)。據(jù)說畢達(dá)高拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。

勾股定理指出：

直角三激梁數(shù)角形兩直角邊(即“勾”，“股”)邊長平方和等于斜邊(即“弦”)邊長的平方。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜明首邊為c，那麼a2 + b2 = c2，勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。

勾股數(shù)組：

滿足勾股定理方程a2 + b2 = c2的正整數(shù)組(a,b,c)。例如(3,4,5)就是一組勾股數(shù)組。由于方程中含有3個(gè)未知數(shù)，故勾股數(shù)組有無數(shù)渣大多組。

如果將直角三角形的斜邊看作二維平面上的向量，將兩斜邊看作在平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上的投影，則可以從另一個(gè)角度考察勾股定理的意義。即，向量長度的平方等于它在其所在空間一組正交基上投影長度的平方之和。

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