基期面積

解析參見(jiàn)上面截圖。

微積分基本定理是曲線函數(shù)f(x)的反導(dǎo)數(shù)就是面積函數(shù)F(x)。微積分基本定理描述了微積分的兩個(gè)主要運(yùn)算──微分和積分之間的關(guān)系，定理的第一部分稱為微積分第一基本定理，表明不定積分是微分的逆運(yùn)算。

微積分基本定理的特點(diǎn)

微積分基本定理也稱為牛頓萊布尼茲公式(NewtonLeibniz formula)，把一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其積分聯(lián)系到了一起，這個(gè)定理可以表述為兩個(gè)部分，第一部分導(dǎo)數(shù)與定積分互為逆運(yùn)算，第二部分用反導(dǎo)數(shù)計(jì)算定積分。

微積分基本定理表明，一個(gè)變量在一段時(shí)間之內(nèi)的無(wú)窮小變化之和，等于該變量的凈變化，詹姆斯·格里高利首先發(fā)表了該定理基本形式的幾何證明，艾薩克巴羅證明了該定理的一般形式，巴羅的學(xué)生牛頓使微積分的相關(guān)理論得以完善。

微積分的基本公式共有四大公式：

1、牛頓-萊布尼茨公式，又稱為微積分基本公式。

2、格林公式，把封閉的曲線積分化為區(qū)域內(nèi)的二重積分，它是平面向量場(chǎng)散度的二重積分。

3、高斯公式，把曲面積分化為區(qū)域內(nèi)的三重積分，它是平面向量場(chǎng)散度的三重積分。

4、斯托克斯公式，與旋度有關(guān)。

積分基本公式

1、∫0dx=c

2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c

3、∫1/xdx=ln|x|+c

4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5、∫e^xdx=e^x+c

6、∫sinxdx=-cosx+c

7、∫cosxdx=sinx+c

8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

1.函數(shù)定義域的求法：

y=1/x , D: x≠0 , (-∞,0) U (0,+∞)

y=x , D: x≥0, [0, +∞ ]

y=㏒ x , D: x＞0, (0, +∞)

y=tanx, D: x≠kπ+π/2 , k∈Z

y=cotx, D:x≠kπ , k∈Z

y=arcsin(或arccosx) , D: |x|≤1, [-1, 1]

2.常見(jiàn)的偶函數(shù)：|x| , cosx , x (n為正整數(shù)), e , e ……

常見(jiàn)的奇函數(shù)：sinx , tanx , 1/x , x , arcsinx , arctanx ,……

3.常見(jiàn)的函數(shù)周期：sinx , cosx , 其周期T=2π；

tanx , cotx , |sinx| , |cosx| , 其周期 T=π.

4.三個(gè)恒等式：a =x ; arcsinx + arccosx = π/2 ; arctanx + arccotx = π/2

5.常用的等價(jià)形式：當(dāng)x→0時(shí)， sinx ~ x , arcsinx ~ x , tanx ~ x , arctan x ~ x ,

㏑(1+ x) ~ x , e –1 ~ x , 1-cosx ~ (1/2)x2, (1+x) -1 ~ (1/n)x

6.極限：Lim-——— =1 , Lim( 1+x ) = e

當(dāng)x→+∞時(shí)，以下各函數(shù)趨勢(shì)于+∞的速度為：

㏑x , x? (n＞0) , a (a＞1) , x

由慢到快

當(dāng)n→∞時(shí)

㏑x , x? (n＞0) , a (a＞1) , n! , x

由慢到快

7.積分中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ使 ∫ f(x)dx=f(ξ)(b-a)

8.微分中值定理：若函數(shù)f(x)滿足條件：函數(shù)f(x)在x 的某鄰域內(nèi)有定義，并且在此鄰域內(nèi)恒有

f(x)≤f (x )或f(x)≥f (x ),f(x)在 x 處可導(dǎo)，則有f′(x )=0

9.洛爾定理：設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；f(a)=f(b)，則

在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)ξ，使f′(ξ)=0

10.拉格朗日中值定理：設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；f(a)=f(b)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)ξ，使———— = f′(ξ)