羅素悖論指的是什么？

我們知道，對于每一個集合來說，都可以考慮其是否屬于自身的問題，大部分集合都是不屬于自身的。我們把不屬于自身的集合稱為正常集合，否則稱為異常集合。把所有正常集合組成的新集合記為S0,即S0={X|XX}

考慮S0是否屬于S0根據(jù)排中律，要么S0，屬于自身，要么S0，不屬于自身。如果S0屬于自身，則S0是異常集合，但S0，是正常集合構(gòu)成的，從而S0又不屬于自身，矛盾。如果S0不屬于自身則S0是正常集合，由S0的構(gòu)造又推出S0屬于自身，矛盾。不論哪一種情況，矛盾不可避免，這就是英國著名數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家羅素于1903年提出的轟動一時的“羅素悖論”。

事實上，早在羅素悖論發(fā)現(xiàn)以前，就已經(jīng)出現(xiàn)了布拉里?福蒂(Burali-Forti)悖論和康托(GFLPCantor)最大基數(shù)悖論。但由于這兩個悖論涉及的概念較多，并沒有引起人們的注意。而羅素悖論就不同了，它只涉及集合論中的幾個最基本的概念：“集合”、“元素”、“屬于”，其構(gòu)成十分清楚明晰。另外，如果以邏輯的術(shù)語代替集合論中的術(shù)語，以邏輯定義的性質(zhì)代替集合論中定義的集合的性質(zhì)，則羅素悖論可在最基本的邏輯概念的形式中推出。這表明，羅素悖論不僅觸及到整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理論，而且還牽涉到邏輯推理論證。因此，這個悖論的出現(xiàn)引起了西方數(shù)學(xué)界、邏輯學(xué)和哲學(xué)界的極大震驚，由此導(dǎo)致了數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第三次數(shù)學(xué)危機。為了解決這個悖論，20世紀初整個數(shù)學(xué)界投入了極大的精力。