n個平面最多將空間劃分成幾分

解:
(1)先來解決一個問題：n條直線最多把平面分成幾個部分呢？不妨記為f(n),易得f(1)=2,f(2)=4,f(3)=7,第n條直線與前n-1條直線兩兩相交，有n-1個交點，這n-1個交點最多把第n條直線分成n段，這樣第n條直線就把原來的平面多分成了n個部分，
所以有
f(n)=f(n-1)+n
(n>=2)
通過計算求得
f(n)=n(n+1)/2+1=c(n+1,2)+1
-(i)
(2)設(shè)n個平面最多能把空間分成g(n)部分,易得
g(1)=2
g(2)=4
g(3)=8
g(4)=15
第n個平面與前面n-1平面兩兩相交，有n-1條直線，這n-1條直線最多把第n個平面分成
f(n-1)個部分，每一部分就把原來的空間多分成了一部分，
所以有
g(n)=g(n-1)+f(n-1)
n>=2
-(ii)
利用遞推公式（ii)公式（i）可得：
g(n)=g(1)+f(1)+f(2)+…+f(n-1)
=c(2,2)+c(3,2)+…+c(n,2)+n+1
=c(3,3)+c(3,2)+…+c(n,2)+n+1
=c(4,3)+c(4,2)+…+c(n,2)+n+1
…
=c(n+1,3)+n+1

一
首先考慮
n條直線最多把平面分成an部分
　　于是a0=1
a1=2
a2=4
　　對于已經(jīng)有n條直線
將平面分成了最多的an塊
　　那么加一條直線
他最多與前n條直線有n個交點
于是被它穿過的區(qū)域都被一分為二
那么增加的區(qū)域數(shù)就是穿過的區(qū)域數(shù)
也就是這條直線自身被分成的段數(shù)
就是n+1
故a(n+1)=an+n+1
　　an=n+(n-1)+...+2+a1=n(n+1)/2
+1
　　二
再考慮n個平面最多把空間分成bn個部分
　　于是b0=1
b1=2
b2=4
　　對于已經(jīng)有n個平面
將空間分成了最多的bn塊
　　那么加入一個平面
它最多與每個平面相交
在它的上面就會得到至多n條交線
　　同時被它穿過的空間區(qū)域也被它一分為二
那么增加的區(qū)域數(shù)仍舊是它穿過的區(qū)域數(shù)
也就是這個平面自身被直線分割成的塊數(shù)
就是an
　　于是b(n+1)=bn+an
　　bn=a(n-1)+b(n-1)=...=a(n-1)+a(n-2)+...+a1+b1
　　=(n-1)n/2
+(n-2)(n-1)/2+...+1*(1+1)/2+n+2
　　=求和[1方到(n-1)方]/2
+
求和[1到(n-1)]/2
+n+1
　　=n(n-1)(2n-1)/12
+n(n-1)/4
+n+1
　　=n(n+1)(n-1)/6
+n+1
　　=(n^3+5n+6)/6