n分之一的前n項(xiàng)和？

Sn=1+1/2+1/3+...+1/n是調(diào)和級(jí)數(shù),也是一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù),它沒有通項(xiàng)公式.

但它可以用一些公式去逼近它的和,

如有：1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1),當(dāng)n很大時(shí),它們之間的差就非常小灶悄沖,

這時(shí)就可以近似用ln(n+1)來代替.

由x>ln(x+1)(x>運(yùn)春0),這可以利用導(dǎo)數(shù)證明,略.

然后取x=1/n,所以1/n>ln(1/n+1)=ln(n+1)-lnn,然后由1/n>ln(n+1)-lnn進(jìn)行累加,

就可得1+1/隱殲2+1/3+...+1/n>ln(n+1).

這是1/n求和,沒有公式計(jì)算的?
自然數(shù)的倒數(shù)組成的數(shù)列,稱為調(diào)和數(shù)列.人們已經(jīng)研究它幾燃陪百年了.但是迄今為止沒有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(當(dāng)n很大時(shí)):?
利用“歐拉公式”1+1/2+1/3+.+1/n≈lnn+C(C=0.57722.一個(gè)無理數(shù),稱作歐拉初始,專為調(diào)和級(jí)數(shù)所用)?
人們傾向于認(rèn)為它沒有一個(gè)簡(jiǎn)潔的求和公式.?
但是,不是因?yàn)樗前l(fā)散的,才沒有求和公式.相反的,例如等差數(shù)列是發(fā)散的,公比的絕對(duì)值大于1的等比數(shù)列也是發(fā)敏則散的,它們都有求和公式.
學(xué)過高等數(shù)學(xué)的人都知道,調(diào)和級(jí)數(shù)S=1+1/2+1/3+……是發(fā)散的,證明如下：
　　由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
　　=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…橋段棚+ln[(n+1)/n]
　　=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
　　由于
　　lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
　　所以Sn的極限不存在,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.