單位圓的極坐標(biāo)方程
如果已知方程式,則化簡方程式。變?yōu)椋▁-a)^2+(y-b)^2=r^2 的格式,那么圓心坐標(biāo)就為(a,b)
如果是畫圖。就要用垂弦定理、弦長公式、勾股定理等求出弦長再推導(dǎo)得坐標(biāo)。
如果圓上兩點連線過圓心,那么圓心是(x1+x2)/2,(y1+y2)/2
如果已知極坐標(biāo),那么先化簡得出圓的方程再由第一步得出,
利用公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ,直接將x和y作代換后代入原方程,即可將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程。
例:y=x2
x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式得:
ρsinθ=(ρcosθ)2
sinθ=ρcos2θ
即為極坐標(biāo)方程。
擴(kuò)展資料
極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程
例:把ρ=2cosθ化成直角坐標(biāo)方程。
解:將ρ=2cosθ等號兩邊同時乘以ρ,得到:ρ2=2ρcosθ
把ρ2用x2+y2代替,把ρcosθ用x代替,得到:x2+y2=2x
再整理一步,即可得到所求方程為:
(x-1)2+y2=1
這是一個圓,圓心在點(1,0),半徑為1。
例如:(x-3cos30°)^2+(y-3sin30°)^2 = 9
(ρcosθ-3cos30°)^2+(ρsinθ—3sin30°)^2 = 9
ρ(θ)=3√3cosθ+3sinθ
1、直角坐標(biāo)方程
心形線的平面直角坐標(biāo)系方程表達(dá)式分別為 :
x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) ;
x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2)。
2、極坐標(biāo)方程
水平方向: ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0);
垂直方向: ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)。
擴(kuò)展資料
心形線的故事
52歲的笛卡爾邂逅了18歲瑞典公主克莉絲汀。笛卡爾落魄無比,窮困潦倒又不愿意請求別人的施舍,每天只是拿著破筆破紙研究數(shù)學(xué)題。有一天克莉絲汀的馬車路過街頭發(fā)現(xiàn)了笛卡爾是在研究數(shù)學(xué),公主便下車詢問,最后笛卡爾發(fā)現(xiàn)公主很有數(shù)學(xué)天賦。
道別后的幾天笛卡爾收到通知,國王要求他做克莉絲汀公主的數(shù)學(xué)老師。其后幾年中相差34歲的笛卡爾和克莉絲汀相愛,國王發(fā)現(xiàn)并處死了笛卡爾。笛卡爾給公主寫了十二封情書,不幸的是都被國王攔了下來。
在臨死之前笛卡爾給公主寫了第十三封情書,信里面沒有一個字,只有一個方程“r=a(1-sinθ)”。國王收到這封信后百思不得其解,于是召集了瑞典所有的數(shù)學(xué)家進(jìn)行研究,還是一無所獲,就把這封信交給了公主。公主很快就找到了答案,這個方程的對應(yīng)曲線就是著名的心形線。
平面內(nèi)取一個定點O,
叫極點,引一條射線Ox,叫做極軸,再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面內(nèi)任何一點M,用ρ表示線段OM的長度,θ表示從Ox到OM的角度,ρ叫做點M的極徑,θ叫做點M的極角,有序數(shù)對
(ρ,θ)就叫點M的極坐標(biāo),這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。
關(guān)于普通方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,只要把普通方程的x用ρcosθ代替,把y用ρsinθ
代替,再整理,就行了。
關(guān)于圓錐曲線,略舉一個例子:
在直角坐標(biāo)中,圓心在原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=R2,其中R為半徑
而同樣的一個圓,在極坐標(biāo)中的方程就可寫為ρ=R,從而極大地簡化了方程。
平面內(nèi)取一個定點O,
叫極點,引一條射線Ox,叫做極軸,再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。
對于平面內(nèi)任何一點M,用ρ表示線段OM的長度,θ表示從Ox到OM的角度,ρ叫做點M的極徑,θ叫做點M的極角,有序數(shù)對
(ρ,θ)就叫點M的極坐標(biāo),這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。
(ρ,θ)就叫點M的極坐標(biāo),這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。
直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換極坐標(biāo):把X=ρCOSθ
Y=ρSINθ帶入原函數(shù)關(guān)系式就可以了。
x軸的夾角,用正弦公式可以求解~
#include
void f(float &x,float &y);
int main()
{
float x,y;
printf("input x:\n");
scanf("%f",&x);
printf("input y:\n");
scanf("%f",&y);
f(x,y);
printf("x=%f\n",x);
printf("y=%f\n",y);
return 0;
}
void f(float &x,float &y)
{
float c=sqrt(x*x+y*y);
float q=atan(y/x);
x=c;
y=q;
}
同步達(dá)綱練習(xí)A級
一、選擇題 1.若直線4x-3y-2=0與圓x2+y2-2ax+4y+a2-12=0總有兩個不同交點,則a的取值范圍是( )A.-33.使圓(x-2)2+(y+3)2=2上點與點(0,-5)的距離最大的點的坐標(biāo)是( )A.(5,1) B.(3,-2)C.(4,1) D.( +2, -3)
4.若直線x+y=r與圓x2+y2=r(r>0)相切,則實數(shù)r的值等于( )A. B.1 C. D.2
5.直線x-y+4=0被圓x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦長等于( )A.8 B.4 C.2 D.4
二、填空題
6.過點P(2,1)且與圓x2+y2-2x+2y+1=0相切的直線的方程為 .
7.設(shè)集合m={(x,y)|x2+y2≤25},N={(x,y)|(x-a)2+y2≤9},若M∪N=M,則實數(shù)a的取值范圍是 .
8.已知P(3,0)是圓x2+y2-8x-2y+12=0內(nèi)一點則過點P的最短弦所在直線方程是( ),過點P的最長弦所在直線方程是 .
三、解答題
9.已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P、Q兩點,若OP⊥OQ(O是原點),求m的值.
10.已知直線l:y=k(x-2)+4與曲線C:y=1+x 有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍.
參考答案同步達(dá)綱練習(xí)A級
1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2或3x-4y-2=0 7.-2≤a≤2 8.x+y-3=0,x-y-3=0 9.m=3 10.( , )
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