數(shù)列知識(shí)點(diǎn) 高三數(shù)學(xué)

列子（列御寇，約公元前450年-約公元前375年之間），東周鄭國圃田（今河南鄭州）人，東周著名的思想家、哲學(xué)家、文學(xué)家、教育家，道家學(xué)派的杰出代表人物，先秦天下十豪之一，被尊為“沖虛真人”。

3.等差數(shù)列的基本性質(zhì)

⑴公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d.

⑵公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd.

⑶若{ a }、{ b }為等差數(shù)列，則{ a ±b }與{ka +b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列.

⑷對(duì)任何m、n ，在等差數(shù)列{ a }中有:a = a + (n-m)d，特別地，當(dāng)m = 1時(shí)，便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性.

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數(shù)，且l + k + p + … = m + n + r + … (兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等)，那么當(dāng){a }為等差數(shù)列時(shí)，有:a + a + a + … = a + a + a + … .

⑹公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd( k為取出項(xiàng)數(shù)之差).

⑺如果{ a }是等差數(shù)列，公差為d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差數(shù)列，其公差為-d;在等差數(shù)列{ a }中，a -a = a -a = md .(其中m、k、 )

⑻在等差數(shù)列中，從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).

⑼當(dāng)公差d＞0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大;當(dāng)d＜0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減小;d=0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù).

⑽設(shè)a ，a ，a 為等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且a 與a ，a 與a 的項(xiàng)距差之比 = ( ≠-1)，則a = .

5.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S 的基本性質(zhì)

⑴數(shù)列{ a }為等差數(shù)列的充要條件是:數(shù)列{ a }的前n項(xiàng)和S 可以寫成S = an + bn的形式(其中a、b為常數(shù)).

⑵在等差數(shù)列{ a }中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n N )時(shí)，S -S = nd， = ;當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(2n-1) (n )時(shí)，S -S = a ， = .

⑶若數(shù)列{ a }為等差數(shù)列，則S ，S -S ，S -S ，…仍然成等差數(shù)列，公差為 .

⑷若兩個(gè)等差數(shù)列{ a }、{ b }的前n項(xiàng)和分別是S 、T (n為奇數(shù))，則 = .

⑸在等差數(shù)列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，則S = (a-b).

⑹等差數(shù)列{a }中， 是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)(n， )均在直線y = x + (a - )上.

⑺記等差數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和為S .①若a ＞0，公差d＜0，則當(dāng)a ≥0且a ≤0時(shí)，S 最大;②若a ＜0 ，公差d＞0，則當(dāng)a ≤0且a ≥0時(shí)，S 最小.

3.等比數(shù)列的基本性質(zhì)

⑴公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其公比為q ( m為等距離的項(xiàng)數(shù)之差).

⑵對(duì)任何m、n ，在等比數(shù)列{ a }中有:a = a · q ，特別地，當(dāng)m = 1時(shí)，便得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有普遍性.

⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數(shù)，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等)，那么當(dāng){a }為等比數(shù)列時(shí)，有:a .a .a .… = a .a .a .… ..

⑷若{ a }是公比為q的等比數(shù)列，則{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |}、{q }、{q}、{ }.

⑸如果{ a }是等比數(shù)列，公比為q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 為公比的等比數(shù)列.

⑹如果{ a }是等比數(shù)列，那么對(duì)任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0.

⑺兩個(gè)等比數(shù)列各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個(gè)數(shù)列的公比的積.

⑻當(dāng)q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0時(shí)，等比數(shù)列為遞增數(shù)列;當(dāng)a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1時(shí)，等比數(shù)列為遞減數(shù)列;當(dāng)q = 1時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列;當(dāng)q＜0時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.

4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式S 的基本性質(zhì)

⑴如果數(shù)列{a }是公比為q 的等比數(shù)列，那么，它的前n項(xiàng)和公式是S =

也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q = 1處.因此，使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1，如果q可能等于1，則需分q = 1和q≠1進(jìn)行討論.

⑵當(dāng)已知a ，q，n時(shí)，用公式S = ;當(dāng)已知a ，q，a 時(shí)，用公式S = .

⑶若S 是以q為公比的等比數(shù)列，則有S = S +qS .⑵

⑷若數(shù)列{ a }為等比數(shù)列，則S ，S -S ，S -S ，…仍然成等比數(shù)列.

⑸若項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列(q≠-1)前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為S 與T ，次n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別為S 與T ，最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S 與T ，則S ，S ，S 成等比數(shù)列，T ，T ，T 亦成等比數(shù)列.

冰凍三尺，非一日之寒。

加火不如蓋鍋蓋。

有。什么事？

1. 泰山，高且穩(wěn)，在于其形狀。
上窄下寬，上輕下重，說明其重心很低，因此穩(wěn)。
2. 逆水行舟，不進(jìn)則退
說明水的流動(dòng)能夠形成對(duì)船的推力，這個(gè)推力在逆水行駛時(shí)為阻力，在不進(jìn)而退時(shí)，這個(gè)阻力又變?yōu)橹Α?/div>