有趣的數(shù)學(xué)題!

"數(shù)"一般指復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)

實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)(即無限不循環(huán)小數(shù))

有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)(也可以分為正數(shù)，負(fù)數(shù)和0).



什么是虛數(shù)



負(fù)數(shù)開平方，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解。

數(shù)學(xué)家們就把這種運(yùn)算的結(jié)果叫做虛數(shù)，因?yàn)檫@樣的運(yùn)算在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無法解釋，所以叫虛數(shù)。

實(shí)數(shù)和虛數(shù)組成的一對數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)看成一個數(shù)，起名為復(fù)數(shù)。

于是，實(shí)數(shù)成為特殊的復(fù)數(shù)(缺序數(shù)部分)，虛數(shù)也成為特殊的復(fù)數(shù)(缺實(shí)數(shù)部分)。

虛數(shù)單位為i, i即根號負(fù)1。

3i為虛數(shù)，即根號(-3), 即3×根號(-1)

2+3i為復(fù)數(shù)，(實(shí)數(shù)部分為2，虛數(shù)部分為3i)

虛數(shù)的實(shí)際意義



大多數(shù)人最為熟悉的數(shù)有兩種，即正數(shù)(+5，

+17.5)和負(fù)數(shù)(-5，-17.5)。負(fù)數(shù)是在中世

紀(jì)出現(xiàn)的，它用來處理3-5這類問題。從古代人看來，要

從三個蘋果中減去五個蘋果似乎是不可能的。但是，中世紀(jì)

的商人卻已經(jīng)清楚地認(rèn)識到欠款的概念。“請你給我五個蘋

果，可是我只有三個蘋果的錢，這樣我還欠你兩個蘋果的錢?！?

這就等于說:(+3)-(+5)=(-2)。

正數(shù)及負(fù)數(shù)可以根據(jù)某些嚴(yán)格的規(guī)則彼此相乘。正數(shù)乘

正數(shù)，其乘積為正。正數(shù)乘負(fù)數(shù)，其乘積為負(fù)。最重要的是，

負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)，其乘積為正。

因此，(+1)×(+1)=(+1);

(+1)×(-1)=(-1);

(-1)×(-1)=(+1)。

現(xiàn)在假定我們自問:什么數(shù)自乘將會得出+1?或者用

數(shù)學(xué)語言來說，+1的平方根是多少?

這一問題有兩個答案。一個答案是+1，因?yàn)?+1)

×(+1)=(+1);另一個答案則是-1，因?yàn)?-1)

×(-1)=(+1)。數(shù)學(xué)家是用√￣(+1)=±1來

表示這一答案的。(碧聲注:(+1)在根號下)

現(xiàn)在讓我們進(jìn)一步提出這樣一個問題:-1的平方根是

多少?

對于這個問題，我們感到有點(diǎn)為難。答案不是+1，因

為+1的自乘是+1;答案也不是-1，因?yàn)?1的自乘同

樣是+1。當(dāng)然，(+1)×(-1)=(-1)，但這是

兩個不同的數(shù)的相乘，而不是一個數(shù)的自乘。

這樣，我們可以創(chuàng)造出一個數(shù)，并給它一個專門的符號，

譬如說#1，而且給它以如下的定義:#1是自乘時(shí)會得出

-1的數(shù)，即(#1)×(#1)=(-1)。當(dāng)這種想法

剛提出來時(shí)，數(shù)學(xué)家都把這種數(shù)稱為“虛數(shù)”，這只是因?yàn)?

這種數(shù)在他們所習(xí)慣的數(shù)系中并不存在。實(shí)際上，這種數(shù)一

點(diǎn)也不比普通的“實(shí)數(shù)”更為虛幻。這種所謂“虛數(shù)”具有

一些嚴(yán)格限定的屬性，而且和一般實(shí)數(shù)一樣，也很容易處理。

但是，正因?yàn)閿?shù)學(xué)家感到這種數(shù)多少有點(diǎn)虛幻，所以給

這種數(shù)一個專門的符號“i”(imaginary)。我們可以把正

虛數(shù)寫為(+i)，把負(fù)虛數(shù)寫為(-i)，而把+1看作

是一個正實(shí)數(shù)，把(-1)看作是一個負(fù)實(shí)數(shù)。因此我們可

以說√￣(-1)=±i。

實(shí)數(shù)系統(tǒng)可以完全和虛數(shù)系統(tǒng)對應(yīng)。正如有+5，

-17.32，+3/10等實(shí)數(shù)一樣，我們也可以有

+5i，-17.32i，+3i/10等虛數(shù)。

我們甚至還可以在作圖時(shí)把虛數(shù)系統(tǒng)畫出來。

假如你用一條以0點(diǎn)作為中點(diǎn)的直線來表示一個正實(shí)數(shù)

系統(tǒng)，那么，位于0點(diǎn)某一側(cè)的是正實(shí)數(shù)，位于0點(diǎn)另一側(cè)

的就是負(fù)實(shí)數(shù)。

這樣，當(dāng)你通過0點(diǎn)再作一條與該直線直角相交的直線

時(shí)，你便可以沿第二條直線把虛數(shù)系統(tǒng)表示出來。第二條直

線上0點(diǎn)的一側(cè)的數(shù)是正虛數(shù)，0點(diǎn)另一側(cè)的數(shù)是負(fù)虛數(shù)。

這樣一來，同時(shí)使用這兩種數(shù)系，就可以在這個平面上把所

有的數(shù)都表示出來。例如(+2)+(+3i)或

(+3)+(-2i)。這些數(shù)就是“復(fù)數(shù)”。

數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，把一個平面上的所有各點(diǎn)同數(shù)

字系統(tǒng)彼此聯(lián)系起來是非常有用的。如果沒有所謂虛數(shù)，他

們就無法做到這一點(diǎn)了。