高中英語直線距離

點到直線的距離公式是：

設(shè)直線 L 的方程為Ax+By+C=0，點 P 的坐標(biāo)為（x0,y0），則點 P 到直線 L 的距離為：

同理可知，當(dāng)P（x0,y0），直線L的解析式為y=kx+b時，則點P到直線L的距離為：

考慮點(x0,y0,z0)與空間直線x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l2+m2+n2)。

證明方法：

定義法證：根據(jù)定義，點P(x?,y?)到直線l：Ax+By+C=0的距離是點P到直線l的垂線段的長，設(shè)點P到直線的垂線為l'，垂足為Q，則l'的斜率為B/A則l'的解析式為y-y?=(B/A)(x-x?)把l和l'聯(lián)立得l與l'的交點Q的坐標(biāo)為((B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2), (A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2))由兩點間距離公式得：

PQ^2=[(B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx?-B^2y?-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By?-C-Ax?)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax?-C-By?)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，公式得證。

設(shè)直線 L 的方程為Ax+By+C=0，點 P 的坐標(biāo)為（Xo，Yo），則點 P 到直線 L 的距離為：

過程：

1.設(shè)直線l的方程為Ax+By+Cz+D=0 顯然它與直線Ax+By+Cz=(A,B,C)(x,y,z)=0平行. 而后者從表達式可以看出它和向量(A,B,C)垂直.

2.考慮直線外一點P和直線上一點Q，則有向量PQ，如果它垂直于直線l，那么PQ的長度就是點到直線的距離。如果它不垂直于直線l，那么設(shè)P到直線l的垂足為R，由直角三角形的關(guān)系，PQcost=PR，cost是PQ與PR夾角的余弦，而PR與(A,B,C)都垂直于l，因此它倆平行。于是，夾角t可由PQ和(A,B,C)得出。

3.現(xiàn)在，P已知，Q可任取，(A,B,C)已知，故t已知。于是PR的長度已知，于是點到直線的距離已知。將以上過程用坐標(biāo)寫出來就得到了點到直線的距離公式了。