等差數(shù)列公差公式

年齡問(wèn)題解法與算法公式

解題關(guān)鍵：“年齡問(wèn)題”的基本規(guī)律是：不管時(shí)間如何變化，兩人的年齡的差總是不變的，抓住“年齡差”

是解答年齡問(wèn)題的關(guān)鍵。分析時(shí)，可借助線段圖分析，結(jié)合和倍、差倍、和差等問(wèn)題分析方法，靈活解題。

公式 ：年齡差÷倍數(shù)差=年齡（滿足當(dāng)時(shí)倍數(shù)關(guān)系時(shí)候的年齡）

1、爸爸今年42歲，女兒今年10歲，幾年前爸爸的年齡是女兒的5倍？

分析： 要求幾年前爸爸的年齡是女兒的5倍，首先應(yīng)求出那時(shí)女兒的年齡是多少？爸爸的年齡是女兒的5倍，女兒的年齡是1倍，爸爸比女兒多5－1＝4 (倍)，年齡多42－10＝32 (歲)，對(duì)應(yīng)，可求出1 倍是多少，即女兒當(dāng)時(shí)的年齡。

解： ( 42－10 )÷( 5－1 ) ＝32÷4 ＝8 (歲) 10－8＝2 (年) 答：2年前爸爸的年齡是女兒的5倍。

2、父親今年比兒子大36歲，5年后父親的年齡是兒子的4倍，今年兒子幾歲？

分析： 父親今年比兒子大36歲，5年后仍然大36歲。父親年齡是兒子的4倍，說(shuō)明兒子的年齡是1倍，父親比兒子大4－1＝3 (倍)，可求出1倍是多少歲，即5年后兒子的年齡，那么，現(xiàn)在幾歲可求出。

解： 36÷( 4－1 ) ＝36÷3 ＝12 (歲) 12－5＝7 (歲) 答：今年兒子7歲。

3、今年母女年齡和是45歲，5年后母親的年齡正好是女兒的4倍，今年媽媽和女兒各多少歲？

分析： 今年母女年齡和是45歲，五年后母女年齡和是45＋5×2＝55 (歲)，母親年齡是女兒的4倍，女兒年齡是1倍，母女年齡和的倍數(shù)是4＋1＝5 (倍)，對(duì)應(yīng)，可求出5年后女兒的年齡，今年她們的年齡可求。

解： ( 45＋5×2 )÷( 4＋1 ) ＝55÷5 ＝11 (歲) 11－5＝6 ( 歲) 45－6＝39 (歲)

答：媽媽今年39歲，女兒6歲

平方差公式是：a2-b2=(a+b)(a-b)；平方和公式是求連續(xù)自然數(shù)的平方和的公式用字母可表示為：【n(n+1)(2n+1)】/6。

1、平方和公式是一個(gè)比較常用公式，用于求連續(xù)自然數(shù)的平方和，其和又可稱(chēng)為四角錐數(shù)，或金字塔數(shù)也就是正方形數(shù)的級(jí)數(shù)。

2、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)。平方差: 一個(gè)平方數(shù)或正方形，減去另一個(gè)平方數(shù)或正方形得來(lái)的乘法公式。

3、完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2，完全平方差:兩數(shù)差的平方, 等于它們的平方和，減去它們的積的2倍即完全。

平方差公式的特點(diǎn)如下：

左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的積，在這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；右邊是完全相同的項(xiàng)的平方減去符號(hào)相反項(xiàng)的平方。

平方差公式（formula for the difference of square）是指兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差 。公式中字母的不僅可代表具體的數(shù)字、字母、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式等代數(shù)式。

在三角函數(shù)公式中，有一組公式被稱(chēng)為三角平方差公式。由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。

平方差公式中常見(jiàn)錯(cuò)誤（教學(xué)中需注意）：

①學(xué)生難于跳出原有的定式思維，如典型錯(cuò)誤（錯(cuò)因：在公式的基礎(chǔ)上類(lèi)推，隨意“創(chuàng)造”）。

②混淆公式。

③運(yùn)算結(jié)果中符號(hào)錯(cuò)誤。

④變式應(yīng)用難以掌握。

注意事項(xiàng)：

1.公式的左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的積，在這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)是完全相同的。

2.右邊的結(jié)果是乘式中兩項(xiàng)的平方差，相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。

3.公式中的a，b 可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

和差化積公式：包括正弦、余弦、正切和余切的和差化積公式，是三角函數(shù)中的一組恒等式，和差化積公式共10組。在應(yīng)用和差化積時(shí)，必須是一次同名稿羨（正切和余切除外）三角函數(shù)方可實(shí)行。若是異名，必須用誘導(dǎo)公式化為同名；若是高次函數(shù)，必須用降冪公式降為一次。

和差化積公式。

sinα＋sinβ＝2sincos

sinα－sinβ＝2cossin

cosα＋cosβ＝2coscos

cosα－cosβ＝－2sinsin

積化和差公式。

sinα·cosβ＝（1/2)

cosα·sinβ＝（1/2)

cosα·cosβ＝（1/2)

sinα·sinβ＝－(1/2)

公式來(lái)源殲余

和差化積公式：包括正弦、余弦、正切和余切的和差化積公式，是三角函數(shù)中的一組恒等式，和差化積公式共10組。在應(yīng)用和差化積時(shí)，必須是一次同名（正切和余切除外）三角函數(shù)方可實(shí)行。若是異名，必鍵改拍須用誘導(dǎo)公式化為同名；若是高次函數(shù)，必須用降冪公式降為一次。

英式英語(yǔ)宏型和美式英語(yǔ)單詞區(qū)別如下：

1.美語(yǔ)的部分單詞，比英語(yǔ)簡(jiǎn)短。

2.美語(yǔ)喜歡強(qiáng)化詞尾r的發(fā)音，英語(yǔ)不是。

3.美語(yǔ)的日期表達(dá)為“月日年”，英語(yǔ)的為“日月年”。

4.部分單詞，英式和美式的表達(dá)不一樣。

美語(yǔ)與英語(yǔ)在單詞拼法上的差異主要有兩種：一種是單詞發(fā)生變化使得個(gè)別字母不相同，另一種是美語(yǔ)單詞較為簡(jiǎn)化。

例如，“車(chē)胎”的英語(yǔ)單詞在英國(guó)用tyre，在美國(guó)則是tire；“執(zhí)照”的英團(tuán)返式英語(yǔ)用licence，美語(yǔ)則用license。這類(lèi)單詞僅一個(gè)字母不同，發(fā)音上有的相同，有的則相似。

美語(yǔ)的單詞一般比英語(yǔ)單詞要簡(jiǎn)單。近年來(lái)，美語(yǔ)越來(lái)越趨向簡(jiǎn)化，充分體現(xiàn)了美塌絕饑國(guó)人生活和工作高效快捷的現(xiàn)代化特性。這些較為簡(jiǎn)化的詞大都源于英語(yǔ)，大量詞匯在英語(yǔ)里仍然保持原貌。而進(jìn)入美語(yǔ)后，這些單詞就逐漸變得簡(jiǎn)單起來(lái)。

例如：英語(yǔ)colour(顏色)，美語(yǔ)則是color；英語(yǔ)refrigerator(電冰箱)美語(yǔ)是fridge，美語(yǔ)比原單詞要簡(jiǎn)單得多。美語(yǔ)單詞的簡(jiǎn)化現(xiàn)象是美語(yǔ)與英語(yǔ)在單詞拼法上的差異的主要表現(xiàn)。

等差數(shù)列求和的公式背后的故事如下：

高斯在小時(shí)候就展現(xiàn)出了非凡的數(shù)學(xué)才華。在他上小學(xué)的時(shí)候，老師給出一道等差數(shù)列的題目，要求學(xué)生們計(jì)算出這個(gè)數(shù)列的和。這個(gè)數(shù)列是1、2、3、4、98、99、100。高斯在幾秒鐘內(nèi)就給出了答敏態(tài)案5050，而其他學(xué)生還在手動(dòng)計(jì)算。

高斯解釋道：我們可以把這個(gè)數(shù)列分成50組，每組相加，第一組的第一個(gè)數(shù)和最后一組的最后一個(gè)數(shù)相加得到101，第二組的第一個(gè)數(shù)和倒數(shù)第二組的最后一個(gè)數(shù)相加得到101，依此類(lèi)推。

因此，這100個(gè)數(shù)的和就是50乘以101等于5050。這個(gè)故事流傳下來(lái)，成為了等差數(shù)列求和公式背后的故事。等差數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)的一種數(shù)列，常用A、P表示。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。

高等數(shù)學(xué)常見(jiàn)數(shù)列：

1、等差數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)的一種數(shù)列，常用A、P表示。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。例沖老如：1、3、5、7、散拿升9，2n-1。通項(xiàng)公式為：an=a1+（n-1）*d。首項(xiàng)a1=1，公差d=2。

2、等比數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)的一種數(shù)列，常用G、P表示。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0），等比數(shù)列a1≠0。其中【an】中的每一項(xiàng)均不為0。注：q=1時(shí)，an為常數(shù)列。

3、常數(shù)數(shù)列，也叫常數(shù)列，若一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都為一個(gè)相等的常數(shù)，即an=a?（n∈N*），則數(shù)列【a】為常數(shù)數(shù)列。

4、對(duì)于一個(gè)數(shù)列，如果從數(shù)列的第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的值都不小于它前面的一項(xiàng)的值，則稱(chēng)這樣的數(shù)列為遞增數(shù)列。

等比：

1.當(dāng)公比q=1時(shí),Sn=na1

2.當(dāng)q不等于1時(shí),Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)

等差：

1.Sn=n(a1+an)/2

2. Sn=na1+n(n-1)d/2

等比數(shù)列公式就是在數(shù)學(xué)上求一定數(shù)量的等比數(shù)列的和的公式。另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。

拓展資料;

等比的故事：

根據(jù)歷史傳說(shuō)記載，國(guó)際象棋起源于古印度，至今見(jiàn)諸于文獻(xiàn)最早的記錄是在薩珊王朝時(shí)期用波斯文寫(xiě)的．據(jù)說(shuō)，有位印度教宰相見(jiàn)國(guó)王自負(fù)虛浮，決定給他一個(gè)教訓(xùn)。

他向國(guó)王推薦了一種在當(dāng)時(shí)尚無(wú)人知曉的游戲．國(guó)王當(dāng)時(shí)整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍，百無(wú)聊賴(lài)，很需要通過(guò)游戲方式來(lái)排遣郁悶的心情．

國(guó)王對(duì)這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣，高興之余，他便問(wèn)那位宰相，作為對(duì)他忠心的獎(jiǎng)賞，他需要得到什么賞賜。

宰相開(kāi)口說(shuō)道：請(qǐng)您在棋盤(pán)上的第一個(gè)格子上放1粒麥子，第二個(gè)格子上放2粒，第三個(gè)格子上放4粒，第四個(gè)格子上放8?！疵恳粋€(gè)次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)目的倍數(shù)，直到最后一個(gè)格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了。 “好吧！”國(guó)王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了宗師的這個(gè)謙卑的請(qǐng)求．

這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接寫(xiě)出數(shù)字來(lái)就是18，446，744，073，709，551，615粒，這位宰相所要求的，竟是全世界在兩千年內(nèi)所產(chǎn)的小麥的總和！

如果造一個(gè)寬四米，高四米的糧倉(cāng)來(lái)儲(chǔ)存這些糧食，那么這個(gè)糧倉(cāng)就要長(zhǎng)三億千米，可以繞地球赤道7500圈，或在日地之間打個(gè)來(lái)回。

國(guó)王哪有這么多的麥子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西薩·班·達(dá)依爾的一筆永遠(yuǎn)也無(wú)法還清的債。

正當(dāng)國(guó)王一籌莫展之際，王太子的數(shù)學(xué)教師知道了這件事，他笑著對(duì)國(guó)王說(shuō)：“陛下，這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單啊，就像1+1=2一樣容易，您怎么會(huì)被它難倒？”國(guó)王大怒：“難道你要我把全世界兩千年產(chǎn)的小麥都給他？”年輕的教師說(shuō)：“沒(méi)有必要啊，陛下。

其實(shí)，您只要讓宰相大人到糧倉(cāng)去，自己數(shù)出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數(shù)一粒，數(shù)完18，446，744，073，709，551，615粒麥子所需要的時(shí)間，大約是5800億年（大家可以自己用計(jì)算器算一下?。?。

就算宰相大人日夜不停地?cái)?shù)，數(shù)到他自己魂歸極樂(lè)，也只是數(shù)出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話，就不是陛下無(wú)法支付賞賜，而是宰相大人自己沒(méi)有能力取走賞賜?！眹?guó)王恍然大悟，當(dāng)下就召來(lái)宰相，將教師的方法告訴了他。?

西薩·班·達(dá)依爾沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超過(guò)了我，那些賞賜……我也只好不要了！”當(dāng)然，最后宰相還是獲得了很多賞賜（沒(méi)有麥子）。