十首最簡(jiǎn)單的英文兒歌

集合A的閉包定義為所有包含A的閉集之交。A的閉包是包含A的最小閉集。 集合 S 是閉集當(dāng)且僅當(dāng) Cl(S)=S（這里的cl即closure，閉包）。特別的，空集的閉包是空集，X 的閉包是 X。集合的交集的閉包總是集合的閉包的交集的子集（不一定是真子集）。有限多個(gè)集合的并集的閉包和這些集合的閉包的并集相等；零個(gè)集合的并集為空集，所以這個(gè)命題包含了前面的空集的閉包的特殊情況。無(wú)限多個(gè)集合的并集的閉包不一定等于這些集合的閉包的并集，但前者一定是后者的父集。
若 A 為包含 S 的 X 的子空間，則 S 在 A 中計(jì)算得到的閉包等于 A 和 S 在 X 中計(jì)算得到的閉包（Cl_A(S) = A ∩ Cl_X(S））的交集。特別的，S在 A 中是稠密的，當(dāng)且僅當(dāng) A 是 Cl_X(S) 的子集。 對(duì)歐幾里德空間的子集 S，x 是 S 的閉包點(diǎn)，若所有以 x 為中心的開球都包含 S 的點(diǎn)（這個(gè)點(diǎn)也可以是 x）。
這個(gè)定義可以推廣到度量空間 X 的任意子集 S。具體地說(shuō)，對(duì)具有度量 d 的度量空間 X，x 是 S 的閉包點(diǎn)，若對(duì)所有 r > 0，存在 y 屬于 S，使得距離 d(x,y) < r（同樣的，可以是 x = y）。另一種說(shuō)法可以是，x 是 S 的閉包點(diǎn)，若距離 d(x,S) := inf{d(x,s) : s 屬于 S} = 0（這里 inf 表示下確界）。
這個(gè)定義也可以推廣到拓?fù)淇臻g，只需要用鄰域替代“開球”。設(shè) S 是拓?fù)淇臻g X 的子集，則 x 是 S 的閉包點(diǎn)，若所有 x 鄰域都包含 S 的點(diǎn)。注意，這個(gè)定義并不要求鄰域是開的。 閉包點(diǎn)的定義非常接近極限點(diǎn)的定義。這兩個(gè)定義之間的差別非常微小但很重要——在極限點(diǎn)的定義中，點(diǎn) x 的鄰域必須包含和 x 不同的集合的點(diǎn)。
因此，所有極限點(diǎn)都是閉包點(diǎn)，但不是所有的閉包點(diǎn)都是極限點(diǎn)。不是極限點(diǎn)的閉包點(diǎn)就是孤點(diǎn)。也就是說(shuō)，點(diǎn) x 是孤點(diǎn)，若它是 S 的元素，且存在 x 的鄰域，該鄰域中除了 x 沒(méi)有其他的點(diǎn)屬于 S。
對(duì)給定的集合 S 和點(diǎn) x，x 是 S 的閉包點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) x 屬于 S，或 x 是 S 的極限點(diǎn)。
集合的閉包
集合 S 的閉包是所有 S 的閉包點(diǎn)組成的集合。S 的閉包寫作 cl(S），Cl(S) 或 S?。 cl(S) 是 S 的閉父集。
cl(S) 是所有包含 S 的閉集的交集。
cl(S) 是包含 S 的最小的閉集。
集合 S 是閉集，當(dāng)且僅當(dāng) S = cl(S）。
若 S 是 T 的子集，則 cl(S) 是 cl(T) 的子集。
若 A 是閉集，則 A 包含 S 當(dāng)且僅當(dāng) A 包含 cl(S）。
有時(shí)候，上述第二或第三條性質(zhì)會(huì)被作為拓?fù)溟]包的定義。
在第一可數(shù)空間（如度量空間）中，cl(S) 是所有點(diǎn)的收斂數(shù)列的所有極限。