博弈論中的共同知識(shí)問(wèn)題

博弈論里有個(gè)概念叫做 common knowledge, 真要是解釋起來(lái)，可以長(zhǎng)篇大論說(shuō)上幾個(gè)小時(shí)。不過(guò)有個(gè)故事便于理解它, 也可以說(shuō)這是一個(gè)測(cè)試邏輯的故事，看看你有沒(méi)有能力把最終的現(xiàn)象解釋清楚。

故事發(fā)生在一個(gè)村莊，村里有100對(duì)夫妻，他們都是地道的邏輯學(xué)家(智能的);村里有一些奇特的風(fēng)俗:每天晚上，村里的男人們都將點(diǎn)起篝火，繞圈圍坐舉行會(huì)議，議題是談?wù)撟约旱钠拮?。在?huì)議開(kāi)始時(shí)，如果一個(gè)男人有理由相信他的妻子對(duì)他總是守貞的，那么他就在會(huì)議上當(dāng)眾贊揚(yáng)她的美德。另一方面，如果在會(huì)議之前的任何時(shí)間，只要他發(fā)現(xiàn)他妻子不貞的證據(jù)，那他就會(huì)在會(huì)議上悲鳴怯哭，并企求神靈嚴(yán)厲地懲罰她。再則，如果一個(gè)妻子曾有不貞，那她和她的情人會(huì)立即告知村里除她丈夫之外所有的已婚男人(奇異的傳統(tǒng)風(fēng)俗)。所有這些傳統(tǒng)和風(fēng)俗都是村民的共同知識(shí)。

事實(shí)上，每個(gè)妻子都已對(duì)丈夫不忠。于是每個(gè)丈夫都知道除自己妻子之外其他人的妻子都是不貞的女子，因而每個(gè)晚上的會(huì)議上每個(gè)男人都贊美自己的妻子。

這種狀況持續(xù)了很多年，直到有一天來(lái)了一位傳教士。傳教士參加了篝火會(huì)議，并聽(tīng)到每個(gè)男人都在贊美自己的妻子，他站起來(lái)走到圍坐圓圈的中心，大聲地提醒說(shuō):“這個(gè)村子里有一個(gè)妻子已經(jīng)不貞了?！痹诖撕蟮?9個(gè)晚上，丈夫們繼續(xù)贊美各自的妻子，但在第100個(gè)晚上，他們?nèi)急Q怯哭，并企求神靈嚴(yán)懲自己的妻子。



為什么會(huì)有這樣的結(jié)果?先對(duì)共同知識(shí)common knowledge作以解釋。

解釋一:共同知識(shí)指“所有參與人知道，所有參與人知道所有參與人知道，所有參與人知道所有參與人知道所有參與人知道…”。

解釋二:如果每個(gè)參與人都知道某個(gè)事實(shí)，每個(gè)參與人都知道每個(gè)參與人都知道它，如此等等，從而形如“(每個(gè)參與人都知道)k (k次方)每個(gè)參與人都知道它”的語(yǔ)句對(duì)k=0，1，2，…都是正確的，那我們就稱這個(gè)事實(shí)為參與人中間的共同知識(shí)。

解釋三:這是一個(gè)“由己及人，由人及己”的無(wú)限推理過(guò)程，是k→∞時(shí)的高階知識(shí)((每個(gè)人)k-1) (k-1次方)。一件事一旦在某個(gè)群體中成為共同知識(shí)，則從任何一個(gè)個(gè)體出發(fā)，他對(duì)這件事的理解等等都已達(dá)到了完全的統(tǒng)一，不再有任何層面的不確定性(奧曼，1976)。



下面是對(duì)這個(gè)故事的解釋。

首先要明確，任何一個(gè)丈夫都知道除自己妻子以外的其他女人的真實(shí)忠貞狀況，若只有一個(gè)妻子不貞，她的丈夫能夠立刻知道這個(gè)不貞的女人就是自己的妻子，因?yàn)樗恼煞蛑罌](méi)有另外的不貞女人，若有的話他是知道的。既然如此，那么在傳教士訪問(wèn)后的第一個(gè)晚上，丈夫A1沒(méi)有哭，那就意味著確實(shí)存在一個(gè)女子不貞，若這個(gè)女人是丈夫A1的妻子，那么他當(dāng)晚便會(huì)哭泣。但事實(shí)是他并沒(méi)有哭，說(shuō)明A1推斷這個(gè)不貞的女人是他所知道的除自己妻子外的99個(gè)女子其中之一。對(duì)每一個(gè)丈夫An均是如此，他們既知道這個(gè)不貞的女子不是自己的妻子，也知道其他丈夫知道這個(gè)女子也不是他們的妻子。由此，從“第一個(gè)晚上沒(méi)有男人哭”中可推斷出:有兩個(gè)女子已經(jīng)不貞。在傳教士走后的第二晚上，既然已推斷出有兩個(gè)女子不貞，而A1只知道一個(gè)，那另一個(gè)就是自己的妻子，故丈夫A1應(yīng)該在“第二個(gè)晚上哭”。然而第二個(gè)晚上“丈夫A1也沒(méi)有哭”，由此丈夫們推斷出:已有三個(gè)女子不貞。由歸納法可以證明，對(duì)于1和100之間的任意正整數(shù)k，如果恰有k個(gè)妻子不貞，那么在傳教士走后的連續(xù)k-1個(gè)晚上，所有的丈夫照樣各自稱贊自己的妻子，但在第k個(gè)晚上，k個(gè)不貞妻子的丈夫會(huì)悲鳴怯哭，于是，在99個(gè)贊揚(yáng)之夜過(guò)后的第100個(gè)晚上，每個(gè)丈夫都知道一定有100個(gè)不貞的妻子。不幸的是包括自己的妻子在內(nèi)!



傳教士究竟告訴了丈夫們什么?每個(gè)丈夫都知道有99個(gè)不貞的妻子，故傳教士所說(shuō)的已經(jīng)有一個(gè)女子不貞的話對(duì)任何人來(lái)說(shuō)都不是什新聞。但“傳教士對(duì)所有100個(gè)男人做了一個(gè)聲明”是common knowledge，從而這個(gè)傳教士所聲明的內(nèi)容(有一個(gè)妻子不貞)也就成了100個(gè)男人之間的common knowledge。在傳教士宣告之前，每個(gè)形如“(每個(gè)丈夫知道)k有一個(gè)妻子不貞”的判斷對(duì)于k≤99都是正確的，但對(duì)于K=100就不正確了。例如，若從1到100對(duì)丈夫們進(jìn)行編號(hào)，則1已經(jīng)知道2已經(jīng)知道3已經(jīng)知道……99已經(jīng)知道100的妻子是不貞的，但1不知道2已經(jīng)知道3已經(jīng)知道……99已經(jīng)知道100已經(jīng)知道1的妻子是不貞的。因而從這個(gè)寓言中引申出的含義是，從一個(gè)共同知識(shí)的事實(shí)推出的結(jié)果與從只知道每個(gè)人已經(jīng)知道每個(gè)人已經(jīng)知道的事實(shí)推出的結(jié)果可以非常不同。