關(guān)于拉格朗日中值定理的證明

可以，但是這么證明不好，且證明的定理和原定理有一些不同。如果用積分中值定理就要構(gòu)造F(x)=∫f(x)dx（積分限a到x），由于f(x)在[a,b]連續(xù)，因此F(x)在(a,b)可導(dǎo)，根據(jù)積分中值定理，F(xiàn)(b)-F(a)=∫f(x)dx（積分限a到b）=f(ξ)(b-a)。仔細(xì)考察這個證明過程，首先f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)這個條件沒有用上，只給f(x)在[a,b]連續(xù)就可以推出結(jié)論。但是在F(b)-F(a)=f(ξ)(b-a)中的f(x)實際相當(dāng)于拉格朗日中值定理中的f'(x)，所以這里要求f(x)連續(xù)就是要求在拉格朗日中值定理中f'(x)連續(xù)，而這是原定理中沒有的條件。所以這樣實際證明的是：如果f‘(x)在[a,b]連續(xù)，則存在ξ屬于(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。這個定理比原定理的條件多，因此這個定理“不好”。