怎么用有限覆蓋定理證明確界定理（不能使用六大定理的等價(jià)替換來證明）

證明：用反證法.
假設(shè)存在集合A有上界M但沒有上確界,設(shè)a為A中的一個(gè)元素.則a考慮閉區(qū)間[a,M]上的每一個(gè)元素x,取它的一個(gè)鄰域I[x],具體取法如下：
(1)如果x是A的上界,那么由反證假設(shè)知x不是A的上確界,即存在比x更小的A的上界x'.取I[x]=(x',2x-x').顯然I[x]內(nèi)的所有元素都是A的上界.
(2)如果x不是A的上界,那么必存在A的元素a'使得a'>x.取I[x]=(2x-a',a').顯然I[x]內(nèi)的所有元素都不是A的上界.
這樣對(duì)閉區(qū)間[a,M]上的每一個(gè)元素x,它都屬于它的鄰域,即我們構(gòu)造了一個(gè)閉區(qū)間[a,M]的無限開覆蓋.由有限覆蓋定理,其中必存在有限個(gè)鄰域覆蓋整個(gè)區(qū)間.
在這有限個(gè)鄰域中取所有滿足x是A的上界（即條件(1)）的區(qū)間I[x],設(shè)這些區(qū)間的左端點(diǎn)（共有限個(gè)）的最小值為x0.顯然x0是A的一個(gè)上界.
考慮x0,顯然x0∈[a,M],但x0卻不屬于有限個(gè)區(qū)間中的任何一個(gè).這是因?yàn)樗炔粚儆谟蓷l件(1)構(gòu)造的I[x]（它比這些區(qū)間中的任何數(shù)都小）,也不屬于由條件(2)構(gòu)造的I[x]（這些區(qū)間中所有的數(shù)都不是A的上界）.這就構(gòu)成了矛盾!
對(duì)于下界及下確界的情況完全類似.
證畢.