初中三角函數(shù)課程講解

高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線（三）—運(yùn)算主線

知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：

對(duì)數(shù)學(xué)最樸實(shí)的理解是：數(shù)學(xué)就是“算”，即“運(yùn)算”。“運(yùn)算”包括兩方面，一個(gè)是“運(yùn)算的對(duì)象”，一個(gè)是“運(yùn)算的規(guī)律”?！皵?shù)”、“字母”（代數(shù)式）、“指數(shù)”、“對(duì)數(shù)”、“三角函數(shù)”、“向量”等等都是運(yùn)算對(duì)象?！敖Y(jié)合律”、“a+(-a)=0”（即加一項(xiàng)，減一項(xiàng)）、“交換律”、各種“分配律”等等都是運(yùn)算規(guī)律。“運(yùn)算”幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落，運(yùn)算是貫穿數(shù)學(xué)的基本脈絡(luò)，是貫穿數(shù)學(xué)課程的主線，在高中數(shù)學(xué)課程中，發(fā)揮著不可替代的作用。

1．對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)

運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)基本內(nèi)容。運(yùn)算對(duì)象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索。從小學(xué)開始，學(xué)生接觸的運(yùn)算在不斷地?cái)U(kuò)充，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，從正數(shù)到負(fù)數(shù)，從有理數(shù)到實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)，從數(shù)到字母、到多項(xiàng)式。數(shù)的運(yùn)算，字母運(yùn)算，向量運(yùn)算，函數(shù)、映射、變換運(yùn)算，矩陣運(yùn)算等，都是數(shù)學(xué)運(yùn)算。

從數(shù)的運(yùn)算到字母運(yùn)算，是運(yùn)算的一次跳躍。數(shù)的運(yùn)算可以用來刻畫具體問題中的數(shù)量關(guān)系，解決一個(gè)一個(gè)有關(guān)數(shù)量的具體問題。而字母運(yùn)算則可以刻畫蘊(yùn)涵規(guī)律的一類問題，解決一類問題。例如，，就刻畫了數(shù)運(yùn)算的一個(gè)規(guī)律——結(jié)合律。同時(shí)，字母運(yùn)算也是表達(dá)函數(shù)關(guān)系、刻畫普遍規(guī)律的工具。從數(shù)運(yùn)算進(jìn)入字母運(yùn)算，使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一次質(zhì)變，學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)跳躍。

從數(shù)的運(yùn)算，到向量運(yùn)算，是認(rèn)識(shí)運(yùn)算的又一次跳躍。運(yùn)算是一類映射，在代數(shù)中，最常見的運(yùn)算是這樣的映射，它是二元映射，實(shí)數(shù)的加法和乘法就是二元映射，但是，并不是二元映射都是運(yùn)算，實(shí)際上，大部分二元映射不是運(yùn)算，只有滿足規(guī)律的二元映射才可以成為運(yùn)算，即代數(shù)運(yùn)算。數(shù)的運(yùn)算、多項(xiàng)式運(yùn)算都是型的代數(shù)運(yùn)算，例如，就加法運(yùn)算來說，它們滿足結(jié)合律，有零元，，還滿足分配率。在初中階段，所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容都離不開運(yùn)算，例如，代數(shù)基本公式，因式分解，方程，不等式，函數(shù)等。向量是可以“算”的，向量的加法、減法運(yùn)算的特征是兩個(gè)向量通過加法、減法運(yùn)算得到第三個(gè)向量，也滿足結(jié)合律，有零元，，所以向量的加法、減法運(yùn)算是屬于型的代數(shù)運(yùn)算；向量的數(shù)乘運(yùn)算的特征是一個(gè)數(shù)與一個(gè)向量通過數(shù)乘運(yùn)算得到一個(gè)向量，它滿足一系列運(yùn)算規(guī)則，例如，結(jié)合律：，分配率：，等。所以，數(shù)與向量的數(shù)乘也是一種運(yùn)算，是屬于型的代數(shù)運(yùn)算；向量的數(shù)量積的特征是兩個(gè)向量通過數(shù)量及運(yùn)算得到一個(gè)數(shù)，同樣，它也滿足一系列的運(yùn)算規(guī)則，例如，分配率：?，等，所以向量的數(shù)量積也是一種運(yùn)算，是屬于型的代數(shù)運(yùn)算。向量的運(yùn)算不同于數(shù)的運(yùn)算，它涵蓋了三種類型的代數(shù)運(yùn)算。與數(shù)的運(yùn)算相比，向量的運(yùn)算擴(kuò)充了運(yùn)算對(duì)象。向量運(yùn)算更加清晰地展示了三種類型的代數(shù)運(yùn)算的特征以及代數(shù)運(yùn)算的功能，同時(shí)，向量運(yùn)算具有與代數(shù)運(yùn)算不同的一些運(yùn)算規(guī)律，這對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步理解其他數(shù)學(xué)運(yùn)算、增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力具有基礎(chǔ)作用。因此，從數(shù)的運(yùn)算到向量運(yùn)算，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的又一次質(zhì)變，學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解也會(huì)更上一層樓。

指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算等，從形式上看，它們都是型的映射，但是，它們滿足一些運(yùn)算規(guī)律，例如，指數(shù)滿足：等規(guī)律。通常把具有規(guī)律的映射稱為“算子”，又稱之為一元運(yùn)算。例如，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算也是一種運(yùn)算，它滿足兩個(gè)函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)等于先求導(dǎo)再求和，這是運(yùn)算規(guī)律，當(dāng)然，它還滿足其他的規(guī)律。這是對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)的有一次飛躍。

在以后的學(xué)習(xí)中，運(yùn)算對(duì)象還要進(jìn)一步拓展。上述種種運(yùn)算的學(xué)習(xí)，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)運(yùn)算，體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義以及運(yùn)算在建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的作用，奠定了基礎(chǔ)。

運(yùn)算時(shí)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課程的主線之一。用這種思想認(rèn)識(shí)高中的數(shù)學(xué)對(duì)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高解決問題的能力是非常有用的。

2．運(yùn)算的作用

（1）運(yùn)算與推理

運(yùn)算本身是代數(shù)研究的重要內(nèi)容，項(xiàng)武義教授認(rèn)為代數(shù)問題就是運(yùn)用運(yùn)算和運(yùn)算法則解決問題，這樣概括是有道理的。某種意義上來說，在中學(xué)階段，解方程問題，解不等式問題，一些函數(shù)性質(zhì)的研究，等等，都是代數(shù)問題。代數(shù)問題的基本特點(diǎn)是不僅要證明在什么條件下“解”存在，而且，要把“解”具體的構(gòu)造出來，這是一種構(gòu)造證明，運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律是構(gòu)成代數(shù)推理的基本要素。例如，討論二元一次方程組時(shí)，不僅要證明在什么條件下二元一次方程組無解、有解，而且，還會(huì)把“解”具體地構(gòu)造出來；又如，利用向量證明問題時(shí)，可以把要證明的問題結(jié)果“算”出來。

在運(yùn)算過程中，每一步運(yùn)算都要依據(jù)運(yùn)算規(guī)律，運(yùn)算規(guī)律的作用類似于幾何證明中的公理，它是代數(shù)推理的前提和基本依據(jù)。運(yùn)算過程本身就是代數(shù)推理的過程。因此，運(yùn)算與推理有著密切的聯(lián)系，可以說，運(yùn)算也是一種推理，運(yùn)算可以“證明問題”，這是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要“留給學(xué)生”的最重要的思想，因此，運(yùn)算的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生的邏輯推理能力同樣具有重要作用。

（2）運(yùn)算與算法

在一定意義下，算法是通過計(jì)算機(jī)解決問題的，算法有計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，構(gòu)成算法的基本要素是運(yùn)算。計(jì)算機(jī)能完成的運(yùn)算主要包括：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算（與、或、非等），關(guān)系運(yùn)算（等），函數(shù)運(yùn)算，等。因此，運(yùn)算時(shí)算法的基本要素，算法的設(shè)計(jì)要以運(yùn)算和運(yùn)算律為依據(jù)。使用各種運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律對(duì)于理解算法、選擇算法、優(yōu)化算法具有重要作用。

（3）運(yùn)算與恒等變形

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，需要進(jìn)行各種工各樣的恒等變形，把復(fù)雜問題變成簡(jiǎn)單問題，例如，在解決一元二次方程時(shí)，我們通過配方法，實(shí)現(xiàn)了降冪的目的，把一元二次方程變成一元一次方程，配方法是通過恒等變形完成的，這些恒等變形是通過反復(fù)利用運(yùn)算規(guī)律實(shí)現(xiàn)的。又如，在三角函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，無論是證明，還是求解，都是在運(yùn)用各種三角函數(shù)基本運(yùn)算法則進(jìn)行恒等變形，通過恒等變形把我們不會(huì)解的問題變成我們會(huì)解的問題。因此，運(yùn)算和運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)，對(duì)于理解恒等變形的原理，提高恒等變形的能力是非常重要的。

3．運(yùn)算內(nèi)容的設(shè)計(jì)

在高中數(shù)學(xué)課程中，主要有幾部分內(nèi)容集中的介紹了運(yùn)算：指數(shù)運(yùn)算；對(duì)數(shù)運(yùn)算；三角函數(shù)運(yùn)算；向量運(yùn)算，包括平面向量和空間向量；復(fù)數(shù)運(yùn)算；導(dǎo)數(shù)運(yùn)算；等。

高中數(shù)學(xué)課程在必修4和選修2—1中安排了平面向量與空間向量的內(nèi)容；在選修1-2和選修2-2中安排了熟悉擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入的內(nèi)容；在必修的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)中也安排了有關(guān)的運(yùn)算，在選修1、選修2中安排了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。

保持運(yùn)算的封閉和保持基本運(yùn)算法則成立是熟悉擴(kuò)充的動(dòng)力之一。例如，為了保持除法的封閉性，促使我們把整數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)；為了保持減法的封閉性，促使我們把正數(shù)拓展到負(fù)數(shù)；保持開方等運(yùn)算的封閉性是促使實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的原因之一。每進(jìn)行一次數(shù)的拓展，我們都需要討論：在新的數(shù)中，原有的數(shù)的運(yùn)算規(guī)律在新的數(shù)中是否保持？例如，從正數(shù)拓展到負(fù)數(shù)，為了保持乘法對(duì)加法的分配率成立，我們需要定義：，，。復(fù)數(shù)保持實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律。但是，實(shí)數(shù)是有序的，復(fù)數(shù)是無序的。

在指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容中，蘊(yùn)含著一些新的運(yùn)算法則。掌握這些特殊的運(yùn)算規(guī)律，是理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)。

指數(shù)運(yùn)算滿足的最基本的運(yùn)算規(guī)律是，若用表示指數(shù)函數(shù)，即，則上述性質(zhì)可表示為。這一運(yùn)算規(guī)律表明指數(shù)運(yùn)算把加法運(yùn)算變?yōu)槌朔ㄟ\(yùn)算，這正是指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)快的原因。指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，特別是指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)性質(zhì)就是由這一運(yùn)算規(guī)律決定的。指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律還有：

（其中，

對(duì)數(shù)運(yùn)算滿足的最基本的運(yùn)算規(guī)律是。若用表示對(duì)數(shù)函數(shù)，即，則上述性質(zhì)可表示為。這一運(yùn)算規(guī)律表明對(duì)數(shù)運(yùn)算把乘法運(yùn)算變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算，這正是指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)慢的原因。對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，特別是對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)性質(zhì)就是由這一運(yùn)算規(guī)律決定的。指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律還有：

運(yùn)算規(guī)律表明了對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算的關(guān)系，極對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算。因此，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。

三角運(yùn)算，以正弦運(yùn)算為例，它所滿足的基本運(yùn)算律是：

后兩個(gè)運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算所特有的。

對(duì)于上述運(yùn)算與運(yùn)算律的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解運(yùn)算的意義以及運(yùn)算律對(duì)研究運(yùn)算的重要性。

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中國(guó)初中地理課程內(nèi)容主要包括四大部分，分別是地球與地圖、自然地理、人文地理和地理實(shí)踐。下面將一一介紹這四個(gè)部分的具體內(nèi)容。第一部分是地球與地圖，這一部分主要涵蓋了地球的基本知識(shí)，包括地球的形狀、地球的自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)、地球的地理坐標(biāo)系和地圖的基本知識(shí)等。在這一部分中，學(xué)生們將學(xué)習(xí)到如何使用地球儀、如何理解地圖上的各種符號(hào)和圖例、如何讀懂地圖上的經(jīng)緯度等。

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第二部分是自然地理，這一部分主要探討了地球表面的自然環(huán)境，包括地球的層次結(jié)構(gòu)、大氣、水文、巖石、土壤和生物等。在這一部分中，學(xué)生們將學(xué)習(xí)到如何理解地球上的各種自然現(xiàn)象和地質(zhì)構(gòu)造，如何認(rèn)識(shí)不同的氣候帶和地形地貌，以及如何探究各種自然災(zāi)害的成因和防護(hù)方法。

第三部分是人文地理，這一部分主要研究了人類活動(dòng)對(duì)地球自然環(huán)境的影響，包括人口地理學(xué)、城市地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)地理學(xué)和文化地理學(xué)等。在這一部分中，學(xué)生們將學(xué)習(xí)到如何理解人類文化和文明的多樣性，如何認(rèn)識(shí)不同文化的交流和融合，以及如何探究不同地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)變化。

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第四部分是地理實(shí)踐，這一部分主要是讓學(xué)生們通過實(shí)地考察、調(diào)查和實(shí)踐活動(dòng)，深入了解地球自然環(huán)境和人文地理現(xiàn)象。在這一部分中，學(xué)生們將走出課堂，去探究實(shí)際問題，比如調(diào)查當(dāng)?shù)氐纳鷳B(tài)環(huán)境，了解當(dāng)?shù)厣鐣?huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展，以及開展社會(huì)服務(wù)和志愿活動(dòng)等。

總的來說，中國(guó)初中地理課程內(nèi)容豐富多彩，涵蓋了地球的自然環(huán)境和人文地理現(xiàn)象等方面的知識(shí)，既注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，也注重學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新思維。通過地理課程的學(xué)習(xí)，能夠幫助學(xué)生們更好地認(rèn)識(shí)和了解自然界和人類社會(huì)，提高他們的綜合素質(zhì)和社會(huì)責(zé)任感。

1，闡述道德與法治的社會(huì)意義

2，解釋道德與法治的概念

3，介紹道德與法治的歷史發(fā)展過程

4，當(dāng)今道德與法治的環(huán)境

5，道德與法治之間的聯(lián)系與發(fā)展

在初中道德與法治課堂教學(xué)中，再也不是死記硬背的死知識(shí)，而是鮮活的和學(xué)生的成長(zhǎng)以及社會(huì)緊密聯(lián)系的學(xué)科，教材靈活，內(nèi)容豐富，這要求教師在組織教學(xué)時(shí)，要緊扣新課標(biāo)，緊密結(jié)合學(xué)生相關(guān)情況展開并進(jìn)行，一切從學(xué)情出發(fā)，從提高學(xué)生素質(zhì)出發(fā)。關(guān)于初中政治教學(xué)的新探索，我的見解

? ?主要是音標(biāo)，如果把音標(biāo)學(xué)會(huì)，單詞就很好記憶。其次是語法，學(xué)好語法后，背誦短語與課文就容易多了。而后就要看學(xué)生的天賦了，記憶力如何，但這一點(diǎn)不重要，只需多下功夫即可。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?音標(biāo)——語法——課本的知識(shí)。